(三)数 列
1．(2019·宁波中学模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，对于任意n∈N满足：an>0，且an是*
4S2
n和3－an的等差中项． (1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，都有1111
a2＋2＋…＋2<. 1a2an4(1)解 ∵a2
n是4Sn和3－an的等差中项， ∴2a2
n＝4Sn＋3－an， 对于上式，令n＝1，
则2a21＝4a1＋3－a1?a1＝3或a1＝－1， 又an>0，∴a1＝3.
(2)解 易知，4S2n＝an＋2an－3，① 4S2
*
n＋1＝an＋1＋2an＋1－3，n∈N，② 上述两式作差并化简得 2(a2
2
n＋1＋an)＝an＋1－an，
即2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)， 又an>0，所以an＋1－an＝2，n∈N*
， 即数列{an}为等差数列，公差为2， 由a1＝3，可知an＝a1＋2(n－1)＝2n＋1， 即数列{a*
n}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N. (3)证明
1
1a2
＝＋1?＝11
24n2
＋4n＋1<4n2＋4n n?2n＝1?4?1
1?n－n＋1???， 即111a2
?n－n?＋1??， 于是11a＋12a2＋…＋2
12an<1??11??11??1
1??4????1－2??＋??2－3??＋…＋??n－n＋1???? ＝1?4??1－1n＋1???<14，
即对一切正整数n，都有
1
1
a2＋1a2＋…＋12a2<1. 1n4
2．已知数列{a*
n}满足a1＝2，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N)，令bn＝an＋1. (1)求证：{bn}是等比数列；
(2)记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn； (3)求证：12－11111112×3n . 1a2a3n16(1)证明 a1＝2，a2＝2(2＋2)＝8， an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)， an＝2(Sn－1＋n)(n≥2)， 两式相减，得an＋1＝3an＋2(n≥2)． 经检验，当n＝1时上式也成立， 即an＋1＝3an＋2(n≥1)． 所以an＋1＋1＝3(an＋1)， 即bn＋1＝3bn，且b1＝3. 故{bn}是首项为3，公比为3的等比数列． (2)解 由(1)得bnnn＝3，nbn＝n·3. T23n＝1×3＋2×3＋3×3＋…＋n×3n， 3T2 3 4 n＋1 n＝1×3＋2×3＋3×3＋…＋n×3， 两式相减，得 －2T2 3 nn＋1 n＝3＋3＋3＋…＋3－n×3 3?1－3n＝?1－3 －n×3n＋1 ， 化简得Tn＝??3?2n－34??? ×3n＋3 4. (3)证明 由(1)得bn＝3n，所以ann＝3－1， 所以111 a＝k>k， k3－13 所以11a＋＋1＋…＋1>1＋112＋…＋n 1a2a3an3331?1?＝3??1－3n??＝1111－12－2×3n. 3又1 13k＋1 －1 a＝k＝k??3k＋1－1? k3－1?3－1 2 3 ?3－1??3－1?1?3?1 ＝?k－k＋1?， 2?3－13－1?1111所以＋＋＋…＋ k＋1 a1a2a3an1??11?1??13??1?1 <＋??2－3?＋?3－4?＋…＋?n－n＋1?? 22??3－13－1??3－13－1??3－13－1??1?13?1 ＝＋?2－n＋1? 22?3－13－1?133111＝＋－×n＋1<， 21623－11611111111故－. n<＋＋＋…＋<22×3a1a2a3an16 13．(2019·余高等三校联考)已知{an}是公比大于0的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝，2111＝＋4，a3＝，a4＝. a3a2b4＋b6b5＋2b7(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝1 n＋2an＋131* ·，记Sn＝c1＋c2＋…＋cn，求证：≤Sn<(n∈N)． n＋1bn＋182 (1)解 设数列{an}的公比为q(q>0)， ??则?11 ＝??aqaq＋4， a1＝， 21 1 12 111即2－－2＝0，解得q＝－1(舍)或q＝， qq21* ∴an＝n(n∈N)． 2设数列{bn}的公差为d， 11＝??82?b＋4d?，则?11 ＝??163b＋16d，11 ??b1＋4d＝4， 即? ?3b1＋16d＝16，? 解得? ?b1＝0，???d＝1， * ∴bn＝n－1(n∈N)． 3 (2)证明 ∵cn＋2an＋n＝n＋1·1b＝n＋2 ?n＋1?·2n＋1 n＋1n＝ 11 n·2n－?n＋1?·2n＋1 ， ∴S?1－11n＝?? 1×22×22???＋??1?2×22－13×23???＋…＋?? 1?n·2n－?n＋1?·2n＋1??? ＝12－11?n＋1?·2n＋1<2 ； 又∵SS1111n＋3n＋1－n＝2－?n＋2?·2n＋2－2＋?n＋1?·2n＋1＝?n＋1??n＋2?2n＋2>0，∴数列{Sn}递增，则S3 n≥S1＝c1＝8， 综上，38≤S<1* n2 (n∈N)． 4．(2019·衢二中模拟)设数列{aan－1 n}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＝2＋a(n≥2)． n－1(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：32－111 2n≤Sn<6 . (1)解 ∵1a＝2＋1，∴1＋1＝2?nan－1an?1? a＋1?n－1 ?? ， 又1 a＝1， 1 ∴1n1* a＋1＝2，∴an＝n(n∈N)． n2－1(2)证明 当n＝1时，S1＝a1＝1， 32－131 2＝1，即2－2 1＝S1； 当n≥2时，a1111n>2n，即Sn>1＋22＋23＋…＋2n 1－1 n＝1＋42＋1311－1＝2－2n. 2∴S31* n≥2－2n(n∈N)， ∵an>0，∴{Sn}递增， a1＝1，a12＝3 ， 4
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