当n≥3时，a21
n<2n＝2n－1，
即S<1＋13＋111
n22＋23＋…＋2n－1 1－1n＝4423＋ 1－1
2
＝411113＋2－1112n－1＝6－2n－1<6， ∴S ∴S<116 (n∈N* n)， 综上所述，32－111* 2n≤Sn<6 (n∈N)． 5．已知数列{a33ann}的首项a1＝5，an＋1＝2a，n＝1,2，…. n＋1(1)求{an}的通项公式； (2)证明：对任意的x>0，a11n≥x?21＋－?1＋x?2·??3n－x???，n＝1,2，…；(3)证明：an2 1＋a2＋…＋an> n＋1 . (1)解 ∵a3an11n＋1＝?1?2a，∴－1＝n＋1an＋13??a－1n??， 又12 a－1＝3 ， 1∴1 na－1＝23·123* 3n－1＝3n，∴an＝3n＋2(n∈N)． nn(2)证明 由(1)知a312 n＝3n＋2>0，a＝n＋1， n311＋x－1?1＋x?2??21?3n－x???＝1＋x－1?1＋x?2??2?3n＋1－1－x??? ＝ 11＋x－1?1＋x?2??1?a－?1＋x??n?? ＝－1a·1212＋＝－?n?1＋x?1＋xan?1?1＋x－an??2 ?＋an≤an， ∴原不等式成立． (3)证明 由(2)知，对任意的x>0， 5 11?2?11?211?2??－x－x有a1＋a2＋…an≥－＋－＋…＋－??2?2?22?n－x? 1＋x?1＋x??3?1＋x?1＋x??31＋x?1＋x??3??＝ 21?22?－2?＋2＋…＋n－nx?， 31＋x?1＋x??33? n2?1?1?1?22 ∴取x＝?＋2＋…＋n?＝?1－n?， 3?n?3?n?33 则a1＋a2＋…＋an≥＝>， 1?1n＋11? 1＋?1－n?n＋1－n3n?3?∴原不等式成立． 6．(2019·浙大附中模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝can＋cn＋1 nn2n2 (2n＋1)(n∈N)，其中实数 * c≠0. (1)求{an}的通项公式； (2)若对一切k∈N有a2k>a2k－1，求c的取值范围． 解 (1)方法一 由a1＝1，a2＝ca1＋c·3＝3c＋c＝(2－1)c＋c， 2 2 2 2 * a3＝ca2＋c3·5＝8c3＋c2＝(32－1)c3＋c2， a4＝ca3＋c4·7＝15c4＋c3＝(42－1)c4＋c3， 猜想an＝(n－1)c＋c2 nn－1 ，n∈N. * 下面用数学归纳法证明． 当n＝1时，等式成立； 假设当n＝k时，等式成立，即ak＝(k－1)c＋c则当n＝k＋1时， 2 kk－1 ， ak＋1＝cak＋ck＋1(2k＋1) ＝c[(k－1)c＋c＝(k＋2k)c2 2 kk－1 ]＋ck＋1 (2k＋1) 2 k＋1 ＋c＝[(k＋1)－1]cnn－1 kk＋1 ＋c， * k综上，an＝(n－1)c＋c方法二 由原式得 2 对任何n∈N都成立． an＋1an＝＋(2n＋1)． cn＋1cnan1 令bn＝n，则b1＝，bn＋1＝bn＋(2n＋1)， cc因此对n≥2有bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1 1 ＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋ c12 ＝n－1＋， c因此an＝(n－1)c＋c2nn－1 ，n≥2. 6 又当n＝1时上式成立． 因此ann－1 n＝(n2 －1)c＋c，n∈N* . (2)方法一 由a2k>a2k－1，得 [(2k)2 －1]c2k＋c2k－1 >[(2k－1)2－1]c2k－1 ＋c2k－2 ， 因为c2k－2>0， 所以(4k2 －1)c2 －(4k2 －4k－1)c－1>0， 为关于c的一元二次不等式，4k2 －1>0， 解此不等式得对一切k∈N* ，有c>ck或c 2 2 2 c?4k－4k－1?＋?4k－4k－1?＋4?4k－1?k＝2?4k2 －1?， 2 222c?4k－4k－1?－?4k－4k－1?＋4?4k－1?k′＝2?4k2 －1?. 易知k→＋∞ limck＝1， 又由?4k2－4k－1?2＋4?4k2－1? －1?2 ＋4?4k2 －1?＋4＝4k2 ＋1知， 2 2 2 c?4k－4k－1?＋4k＋12?4k2 －1?＝8k－4kk<8k2－2<1， 因此由c>c* k对一切k∈N成立得c≥1. 又c－2 k′＝?4k2－4k－1?＋?4k2－4k－1?2＋4?4k2 －1?<0，易知ck′关于k单调递增，故 ck′≥c1′对一切k∈N*成立， 因此由c 1＋13k′对一切k∈N成立得c ?1?－∞，－＋13?6??∪[1，＋∞)．方法二 由a2k>a2k－1，得 [(2k)2 －1]c2k＋c2k－1 >[(2k－1)2－1]c2k－1 ＋c2k－2 ， 因为c2k－2>0， 所以4(c2 －c)k2 ＋4ck－c2 ＋c－1>0对k∈N* 恒成立． 记f(x)＝4(c2 －c)x2 ＋4cx－c2 ＋c－1， 下面分三种情况讨论． ①当c2 －c＝0即c＝0或c＝1时， 代入验证可知只有c＝1满足要求． ②当c2－c<0时，抛物线y＝f(x)开口向下， 7 因此当正整数k充分大时，f(x)<0， 不符合题意，此时无解． ③当c2 －c>0即c<0或c>1时， 抛物线y＝f(x)开口向上，其对称轴 x＝ 1 2?1－c? 必在直线x＝1的左边． 因此，f(x)在[1，＋∞)上是增函数． 所以要使f(k)>0对k∈N* 恒成立，只需f(1)>0即可． 由f(1)＝3c2 ＋c－1>0， 解得c<－1－13－1＋13 6或c>6. 结合c<0或c>1得c<－1＋13 6 或c>1. 综上所述，c的取值范围为? ?1＋?－∞，－13?6??∪[1，＋∞)． 8
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