三角函数的图象与性质
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一、选择题
1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) xx
A．y＝sin 2cos 2 C．y＝tan 2x
B．y＝sin2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
π
A [y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为2；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶
函数，故B、C、D都不正确，故选A.]
2．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是( )
D [将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
]
?4π?
3．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点?3，0?对称，那么|φ|的最小值为
??( )
ππππ
A.6 B.4 C.3 D.2
4π???2π??2π?
A [由题意得3cos?2×3＋φ?＝3cos?3＋φ＋2π?＝3cos?3＋φ?＝0，
??????2ππ
所以3＋φ＝kπ＋2，k∈Z. π
所以φ＝kπ－6，k∈Z，取k＝0， π
得|φ|的最小值为6.]
4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 C．2，－1
B．3，－2 D．2，－2
D [y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x ＝－sin2x－2sin x＋1， 令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2， 所以ymax＝2，ymin＝－2.]
5．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在函数，则θ的一个值为( )
πA．－3 2πC.3
πB．－6 5πD.6
上为减
π??
?D [由题意得f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin?2x＋θ＋6??.因为函数f(x)πππ
为奇函数，所以θ＋6＝kπ，k∈Z，故θ＝－6＋kπ，k∈Z.当θ＝－6时，f(x)＝2sin 2x，在
5π
上为增函数，不合题意．当θ＝6时，f(x)＝－2sin 2x，在
上为减函数，符合题意．故选D.] 二、填空题
?π?
6．函数y＝cos?4－2x?的单调递减区间为 ．
??
π??π??
??? [因为y＝cos??4－2x?＝cos?2x－4?，
ππ5π
所以令2kπ≤2x－4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋8≤x≤kπ＋8(k∈Z)， 所以函数的单调递减区间为
(k∈Z)．]
π??
7．已知函数f(x)＝2sin?ωx－6?＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中
??ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为 ．
π?6π?
?ωx－6?＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得 [由函数f(x)＝2sin
5??ππ
ωπ－6＝kπ＋2，k∈Z，
25
∴ω＝k＋3，又ω∈(1,2)，∴ω＝3， 2π6π
从而得函数f(x)的最小正周期为5＝5.] 3
π??
8．设函数f(x)＝sin?2x＋3?.若x1x2＜0，且f(x1)－f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值
??范围为 ．
π??π??
?6，＋∞? [如图，画出f(x)＝sin?2x＋3?的大致图象， ????
π??π3?3?
记M?0，?，N?，?，则|MN|＝6.设点A，A′是平行于x轴的直线l与
2???62?函数f(x)图象的两个交点(A，A′位于y轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x1，?π?
x2，结合图形可知，|x2－x1|＝|AA′|∈(|MN|，＋∞)，即|x2－x2|∈?6，＋∞?.]
??
三、解答题
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