1．函数
(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
(2)在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． (3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
(4)理解函数的单调性、最大(小)值及几何意义，了解函数的奇偶性的含义． (5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 2．指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景．
(2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
1
(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，
21
的指数函数的图象． 3
(4)体会指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用．
1
(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数2,10，的对2数函数的图象．
(3)体会对数函数是一类重要的函数模型．
(4)了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 4．幂函数
(1)了解幂函数的概念．
11
(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化规律．
x2
5．函数与方程
结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
6．函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况 年份 2014 考查内容 第5题 函数的奇偶性的判定
分值 5分 第12题 函数的零点(结合导数) 第15题 分段函数、解不等式 2015 2016 2017 2018 第10题 分段函数求值 第12题 图象的对称性、求值 第8题 幂、指数、对数比较大小 第9题 函数图象(结合导数) 第8题 函数图象(结合奇偶性) 第9题 单调性、对称性 第12题 分段函数、不等式 第13题 已知函数值求参数 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况 年份 2014 2015 2016 2017 2018 考查内容 第11题 已知单调性求参数 第15题 奇偶性、对称性应用 第12题 奇偶性与单调性应用 第13题 求函数解析式中参数值 第10题 同一函数问题 第12题 函数图象的对称性质 第8题 复合函数的单调性 第14题 奇偶性、求值 第3题 函数图象 第12题 函数的性质，求值 分值 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分
2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ的10套试题直接考查本部分内容的试题共21道，除2014年卷Ⅰ考查了3道，占15分，其他各套都考查了2道，占10分．(以导数为主的解答题结合了函数的知识，但没有统计在内)
函数是每年高考的必考内容，常以客观题的形式出现，主要考查函数的概念，分段函数的求值、求参数范围；函数的奇偶性、单调性及其应用；指数、对数函数的性质及应用，函数的零点等内容．容易题、中等难度试题及较难试题都有出现．
函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了高中数学的全过程，是中学数学与高等数学的结合点，是进一步学习高等数学的重要基础．在复习本部分知识时，要注意如下方面：
1．加强函数概念的理解，会求一些简单函数的定义域，能够利用解析式求函数的值，要特别注意加强对分段函数的理解，加强函数与方程、分类讨论及数形结合等思想方法的应用意识．
2．理解函数的单调性、奇偶性的定义，切实掌握判断函数的单调性、奇偶性的方法，强化函数性质的应用意识．熟练掌握利用函数性质解决求函数最值、求函数零点、求参数范围及解“函数”不等式等相关问题．
3．在复习幂、指数、对数函数时，要坚持“定义(概念)→解析式→图象→性质”这条主线．要注意掌握指数、对数的基本运算．要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及其图象变换，加强函数图象的应用意识．
4．对函数的零点及方程根的复习，要理解函数的零点、方程的实根和函数与x轴交点的横坐标的等价性，掌握零点的存在性定理，能通过两函数图象的交点个数来判断方程零点的个数．
函数是传统的学习内容，对这一部分的复习历来师生都十分重视，由于导数的引入，对函数的复习的要求就有所变化，因为导数是研究函数强有力的工具，有些问题在导数中研究变得更加轻松(如函数的单调性)，根据全国卷高考对本单元的要求，在复习时，要适当控制难度．
第4讲 函数及其表示
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
知识梳理
1．函数的概念
(1)给定两个非空的 数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中 任何一个 数x，在B中都有 唯一 确定的数y与之对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A ，此时的x叫做自变量，集合A叫做函数的 定义域 ，集合C＝{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 且CB.
(2)函数有三个要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 . 2．函数的表示
列表法：用 表格 的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法． 图象法：用 图象 把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法．
解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的 解析式 表示出来，这种方法称为解析法． 3．分段函数
分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的 对应法则 的函数称为分段函数． 4．映射的概念
如果两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的 每一个 元素，B中总有 唯一确定 的元素y与之对应，就称这种对应是从集合A到集合B的映射．
1．函数是一种特殊的映射，映射不一定是函数．从A到B的映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段函数的值域的 并集 .
热身练习 1．考察下列图象：
其中能够作为函数图象的是 A，B，C . 抓住函数的定义进行判断．对每一个x，都有唯一确定的y与之对应才构成函数关系，
表现在图象上为在定义域范围内与x轴垂直的直线与图象有且只有1个交点，由此可知，A，B，C都能作为函数图象，D不能作为函数图象．
2．(经典真题)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝ －2 . 由f(x)＝ax3－2x可得f(－1)＝－a＋2＝4， 所以a＝－2.
3．下列函数中，f(x)与g(x)表示同一函数是(D) A．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1
B．f(x)＝x，g(x)＝x2 C．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝|x|，g(x)＝x2 A的定义域不同，B的值域不同，C的对应法则不同，只有D的定义域、值域、对应法则都相同．
?1－x，x≥0，
4．设f(x)＝?x则f[f(－2)]＝(C)
?2，x<0，
1
A．－1 B. 413C. D. 22
1－
因为－2＜0，所以f(－2)＝22＝＞0，
4
111＝1－＝. 422
1
所以f()＝1－4
5．已知函数满足f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(B) A．－2 B．6 C．1 D．0 (方法一)令x－1＝t，则x＝t＋1， 所以f(t)＝(t＋1)2－3， 所以f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
(方法二)f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
所以f(x)＝x2＋2x－2，所以f(2)＝22＋2×2－2＝6. (方法三)令x－1＝2，则x＝3，所以f(2)＝32－3＝6.
求函数的定义域
1
(1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是
1－xA．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
1＋xx1
(2)设函数f(x)＝ln，则函数g(x)＝f()＋f()的定义域为____________．
2x1－x
??1－x≠0，
(1)要使f(x)有意义，则?
?x＋1>0，?
解得x>－1且x≠1.
故函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)． 1＋x1＋x
(2)要使f(x)＝ln有意义，则>0，
1－x1－x所以－1 x1 则函数g(x)＝f()＋f()的定义域为 2x ? ?1 ?－1 x －1<<1， 2 所以x∈(－2，－1)∪(1,2)． (1)C (2)(－2，－1)∪(1,2) 求定义域的基本方法： ①若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集； ②已知函数f(x)的定义域为D，则f[g(x)]的定义域为满足g(x)∈D的x的取值范围． 1．(1)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是(D) A．[－3,1] B．(－3,1) C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) (2)(2018·重庆模拟)已知函数f(x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域是(A) A．[－1,1] B．[－2,2] C．[－1,2] D．(－2,1] (1)要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0， 即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1. 故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)因为f(x)的定义域为[－1,2]， ??－1≤x≤2， 要使函数y＝f(x)＋f(－x)有意义，则? ??－1≤－x≤2， 解得－1≤x≤1. 所以y＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1,1]． 求函数的解析式 (1)(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R， 则实数a＝________，b＝________. x2＋131 (2)已知f(＋1)＝2＋，则f(x)＝___________________________. xxx (1)先利用函数解析式将f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2的左边表示出来，再化简右边，然后利 用多项式相等的条件求解即可． 因为f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1， 所以f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2) ＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b ＝x3＋3x2－a3－3a2. 2a＋b＝－3，??2 由此可得?a＋2ab＝0， ??a3＋3a2＝a2b. ①②③
相关推荐：
loading