多项式插值的震荡现象

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第二次作业

——多项式插值的振荡现象

实验2.1 多项式插值的振荡现象 问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼进的函数。设区间[-1，1]上函数

f(x)?11?25x2

实验内容：考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为

xi??1?则拉格郎日插值多项式为

2i,i?0,1,2,???,n, nLn(x)??1l(x) 2ii?01?25xin其中，li(x),i?0,1,2,???,n是n次lagrange插值基函数。

function t_charpt2 %输入插值结点

result=inputdlg({'请输入插值结点数N1：'},'charpt_2',1,{'3'}) N1=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入插值结点数N2：'},'charpt_2',1,{'5'}) N2=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入插值结点数N3：'},'charpt_2',1,{'10'}) N3=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入插值结点数N4：'},'charpt_2',1,{'15'}) N4=str2num(char(result));

if(N1<1|N2<1|N3<1|N4<1) errordlg('结点输入错误！');return;end %插值结点小于1时错误

f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1; %标准函数f

x1=linspace(a,b,N1+1); x2=linspace(a,b,N2+1); x3=linspace(a,b,N3+1); x4=linspace(a,b,N4+1); y1=feval(f,x1); y2=feval(f,x2); y3=feval(f,x3); y4=feval(f,x4);

x=a:0.1:b;inter1=Lagrange(x1,y1,x);

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inter2=Lagrange(x2,y2,x);inter3=Lagrange(x3,y3,x); inter4=Lagrange(x4,y4,x);

%inter1为插值结点为3，inter2为插值结点为5，inter3为插值结点为10，inter4为插值结点为15

fplot(f,[a,b],'-'); %画标准函数f的图形 hold on;

plot(x,inter1,'--'); plot(x,inter2,'*'); plot(x,inter3,'-.'); plot(x,inter4,':'); %画插值逼近函数

legend('f','inter1','inter2','inter3','inter4') xlabel('x');ylabel('y=f(x) o and y=Ln(x)--');

%---------------------------------------------------------------- function y=Lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if(j~=k)

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end

s=s+p*y0(k); end y(i)=s; end

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图1、函数

结果分析：

f(x)?11?25x2的拉格朗日插值多项式

多项式插值逼近结果如图所示，inter1为插值结点为3，inter2为插值结点为5，inter3为插值结点为10，inter4为插值结点为15。当结点数由3个结点增加为5个结点时，函数图形越接近，当插值结点增加到10时，曲线光滑，函数逼近效果在曲线的中间部分（-0.6，0.6）比较好，但是由上图在两个端点处x=-1和x=1附近时会出现在与原函数f(x)偏差会很大（龙格现象）。可以看出，适当提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是太高反而会产生不良的现象。

由函数h(x)?相同的结论。

x和g(x)?arctanx的拉格郎日插值多项式的逼近结果可以得出41?x精品

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图2、函数h(x)?x的拉格郎日插值多项式 1?x4精品

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图3、函数g(x)?arctanx拉格郎日插值多项式

由上图函数h(x)?x的拉格郎日插值多项式和函数g(x)?arctanx拉格郎日插值多式 1?x4的拟合图形可以看出，采用插值多项式时，适当增加插值结点可以提高拟合的精度，但是当插值结点过于大时都会出现龙格现象。

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