高考数学大一轮复习第七章立体几何46空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业理

（新课标）2017高考数学大一轮复习第七章立体几何46空间点、直线、平面之间的位置关

系课时作业理

又因为∠PBO＝60°，BO＝1， 所以PB＝2，所以PB＝PD＝BD， 即△PBD为正三角形， 所以DE＝DF＝3，

DE2＋EF2－DF2

所以cos∠DEF＝

2DE·EF＝

?6?22

（3）＋??－（3）

?2?

2

6

2×3×

2

2＝， 32464

＝

即异面直线DE与PA所成角的余弦值为

2. 4

1．(2016·长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )

A．AB∥CD B．AB与CD相交 C．AB⊥CD

D．AB与CD的所成的角为60°

解析：如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴正确选项为D.

答案：D

5 / 7

（新课标）2017高考数学大一轮复习第七章立体几何46空间点、直线、平面之间的位置关

系课时作业理

2．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别

CFCG2

是边BC，CD上的点，且＝＝，则( )

CBCD3

A．EF与GH平行 B．EF与GH异面

C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上

1

解析：依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．因为EH＝

2

BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．

答案：D

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1的中心，点Q在线段PD上运动，则异面直线BQ与A1D1所成角θ最大时，cosθ＝________．

解析：根据题意，画出正方体ABCD－A1B1C1D1，异面直线BQ与A1D1所成的角为BQ与BC所成的角，当点Q与点D重合时，所求异面直线所成角为∠CBD＝45°，当点Q与点P重合时，所求异面直线所成角为∠PBC，设正方体的边长为2，在△PBC中，PB＝PC＝6，BC＝2，

2

3

PB2＋BC2－PC26＋4－66

所以cos∠PBC＝＝＝.所以动点Q从D点出发，沿着D移动，所求

2PB·BC646

异面直线所成角越来越大，当到达点P时达到最大，所以cosθ＝

答案：

6 6

6. 6

4．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：

(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小； (2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1－BCA1的体积．

6 / 7

（新课标）2017高考数学大一轮复习第七章立体几何46空间点、直线、平面之间的位置关

系课时作业理

解：(1)连接AO，并延长与BC交于点D，则AD是BC边上的中线． ∵点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，

∴BC⊥AD，BC⊥A1O. ∵AD∩A1O＝O， ∴BC⊥平面ADA1. ∴BC⊥AA1.又AA1∥CC1，

∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C. ∵CC1⊥BC，CC1＝BC， ∴四边形BCC1B1为正方形，

π

∴异面直线AA1与BC1所成角的大小为.

4(2)∵三棱柱的所有棱长都为2， 223

∴可求得AD＝3，AO＝AD＝，

33

22

A1O＝AA1－AO＝

26

. 3

∴VABC－A1B1C1＝S△ABC·A1O＝22，

VA1－B1C1CB＝VABC－A1B1C1－VA1－ABC＝

42

. 3

122

∴VC1－BCA1＝VA1－BCC1＝VA1－BCC1B1＝.

23

7 / 7