2020高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-3三角函数的图象与性质教师用书理苏教

2019年

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-3三角

函数的图象与性质教师用书理苏教

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0).

余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1).

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 在[－ππ2＋2kπ，2＋在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递2kπ](k∈Z)上递增； 单调性 增； 在(－π2＋kπ，π2＋在[π2＋2kπ，3π2＋在[2kπ，π＋kπ)(k∈Z)上递增 2kπ](k∈Z)上递减 2kπ](k∈Z)上递减 当x＝π2＋2kπ(k∈Z)当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 时，ymax＝1； 最值 当x＝－π当x＝π＋ 2＋2kπ(k∈Z)时，ymin2kπ(k∈Z)时，ymin＝－＝－1 1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

2019年 (π对称中心 (kπ，0)(k∈Z) 2＋kπ，0) (kπ2，0)(k∈Z) (k∈Z) 对称轴方程 x＝π2＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 【知识拓展】 1.对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.( × )

(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( × )

(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × ) (5)y＝sin |x|是偶函数.( √ ) (6)若sin x>，则x>.( × )

1.函数f(x)＝cos(2x－)的最小正周期是________. 答案 π

解析 最小正周期为T＝＝＝π.

2.(教材改编)函数y＝－tan x的单调递减区间是________________. 答案 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)

2019年

解析 因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，

所以y＝－tan x的单调递减区间为(－＋kπ，＋kπ) (k∈Z).

3.(教材改编)sin 11°，cos 10°，sin 168°的大小关系为________________. 答案 sin 11°＜sin 168°＜cos 10°

解析 sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°， 又y＝sin x在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， 即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.

4.(教材改编)y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝的交点个数为________. 答案 2

解析 在同一坐标系中作出函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]和y＝的图象(图略)，由图象可得有两个交点.

5.(教材改编)下列满足函数y＝tan 的条件是________.(填序号) ①在(0，)上单调递增； ②为奇函数；

③以π为最小正周期； ④定义域为{x|x≠＋，k∈Z}. 答案 ①②

解析 ①令0

④令≠＋kπ(k∈Z)，得x≠π＋2kπ(k∈Z)， ∴定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}， ∴④不正确.

2019年

题型一 三角函数的定义域和值域

例1 (1)函数f(x)＝－2tan(2x＋)的定义域是____________.

(2)(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin(x＋)，其中x∈[－，a]，若f(x)的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是________. 答案 (1){x|x≠＋，k∈Z} (2)[，π]

解析 (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， 所以f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}. (2)∵x∈[－，a]，∴x＋∈[－，a＋]， ∵x＋∈[－，]时，f(x)的值域为[－，1]， ∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.

(2)三角函数值域的不同求法

①利用sin x和cos x的值域直接求；

②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域.

(1)函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为 .

(2)函数y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为__________. 答案

??π

?? x|2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z(1)3??

(2)2－

3

sin x＞0，??

解析 (1)要使函数有意义必须有?1

cos x－≥0，?2?2kπ＜x＜π＋2kπk∈Z，??

即解得?ππ

－＋2kπ≤x≤＋2kπk∈Z，?3?3

∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，