真空中的恒定磁场
4半径为R的细圆环均匀带电，电荷线密度为?，环以每秒n转绕通过环心并与环面垂直的轴做匀速转动，求环心处的
?磁感应强度B。
解:转动的带电圆环构成圆形电流，其电流强度可用下法求出：设圆环被空间某一平面S所截，如图所示，在dt时间内通过截面的电量
dq??dt??2?Rndt?
dq?2?Rn? 所以 I?dt
又知，半径为R、强度为I的圆形电流在其圆心处所建立的磁感应强度可表示为
?0I??大小：B?? B?2R?方向：垂直圆面且与I右旋?
故环中心处的磁感应强度
B??02R2?Rn???0?n?
????若??0，则B与?同向，若??0，则B与?反向。
5如图（a）所示，半径为R的无限长半圆柱面上沿轴向均匀地通有电流，总电流强度为I，求半圆柱面的轴线上的磁
?感应强度B。
解:场源电流可视作无数条平行的无限长的直电流的组合，轴线上任意P点的磁感应强度就是无数长直电泫在该点处的磁感应强度的矢量和。
如图（b）所示是俯视图。如图建立坐标系，z轴垂直于图面向外（与柱面上电流的流向一致）。因为x?z平面是场源
?电流的对称面，P点处B的方向只能有y分量，即
??B?Byj 在柱面上任取一窄条，它的位置用图中?角表征。设窄条对柱面轴线?即z轴?的张角为d?，则其上电流强度应为IIRd??d?。这电流在P点处磁感应强度的大小 ?R??I??0?d??????0Id? dB??2?R2?2R
?方向如图所示。显然，dB在y轴上的投影应为
?Icos?d?dBy?dBcos??02
2?R
将上式对整个半柱面电流积分得
??Icos?d??0IBy??2?02?2
?2?R?R2
所以，轴上任一点P的磁感应强度为
??0I?B?2j
?r6厚度为d的无限大平板层中均匀地通有恒定电流，如图所示，电流流向垂直于图面向外，电流密度大小为J，求空间各点的磁感应强度。
解:选用如图所示的直角坐标系，x轴垂直于图面向里，Oxy平面即载流层的中心平面。由场源电流分布情况，可知空间任一点的磁感应强度只有y分量，且与坐标x,y无关，即
??B?By?z?j 另外，在中心平面两侧，与平面距离相同的各点，磁感应强度大小相等，但方向相反，即
By?z???By??z? 显然，在图示情况中，z?0的场点By?0;z?0的场点
?B?0。 ，而在中心平面上各点By?0根据上述对称性只须计算z?0的各点的B。如图作矩
阵形回路abcda，设ab边上磁感应强度大小为B，由安培环路
???定理?B?dS??0?Ii有
L?L内????0J?lzBl??d??0J?l2?
d2 dz?2z????0zJ所以 B??d??0J?2
?考虑到B的方向可得
d2 dz?2z????Jzj0???B??dz?j??0J2z??d2d z?2z?
7在半径R?5.0m的无限长金属圆柱内部挖去一半径r?1.5m的无限长圆柱体,两柱体轴线平行,轴间距离a?2.5m,在此空心导体上通以电流I?5.0A,电流沿截面均匀分布,求此导体空心部分轴线上任一点的磁度应强度?B。
解:用填补法，在空腔内补上正、反方向的电流，电流的密度大小均匀
I J?22??R?r?
在导体空心部分轴线上任取一点Q?，如图所示。设没
?有挖空腔的圆柱形导体在Q?产生的磁感应强度为B1，由安培环路定理得
B12?a??0J?a2 ??0Ja故 B1?，方向与J成右旋切向。
2
对于被挖掉的那部分导体，其反向电流在Q?产生的磁感应强度为B2，
?则 B2?0
所以，导体空心部分轴线上任一点磁感应强度为
????B?B1?B2?B1
?0Ia?7B1??1.09?10T 222?R?r??
?方向与J成右旋切向。
?8如图所示,空间某一区域有电场强度为E的均匀电
?场和磁感应强度为B的均匀磁场,两者方向相同,一质量为m,电量为?e的电子在其中运动。分别求下列情况下电子的加速度，并讨论其运动轨迹。开始时：
??????（1）?与E同向；（2）?与E反向；（3）?与E垂直。
???解:（1）由 FL??e??B?0
??Fe??eE
?e?再由牛顿第二定律得 a??E
m
电子沿x轴作匀减速直线运动。
?e?（2） a??E
m
电子沿x轴反方向作匀加速直线运动。 （3）高开始时?沿y轴方向，电子受力
??????F?FL?Fe??e??B?E ?e???所以 a????B?E
m
电子沿?x方向作增螺距的螺旋线运动。
9任意形状的一段导线abc中通有电流I，导线放在与均匀
?磁场B垂直的平面内，试证明导线acb所受的合力等于由a到b载有同样电流的直导线所受的力。
????
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