第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是x＝________． 解析：a⊥b?2(x－1)＋2＝0，得x＝0. 答案：0
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________． 解析：原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”． 答案：“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的________条件． 解析：当a＝3时A＝{1，3}，显然A?B.但A?B时，a＝2或3. 答案：充分不必要
4．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x＋(y－a)＝1相切”，则p是q的________条件．
解析：由直线x＋y＝0与圆x＋(y－a)＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离|a|
等于圆的半径，即有＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．
2
答案：充分不必要
5．命题：“若x<1，则－1 解析：x<1的否定为：x≥1；－1 答案：若x≥1或x≤－1，则x≥1 6．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件． 解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}， 因为A∪B＝C，所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件． 答案：充分必要 7．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________． 解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 答案：1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件． 解析：若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|， 所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x，而它不是奇函数． 答案：必要不充分 9．若命题“ax－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知ax－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得 ??a<0，? 2 ?Δ＝4a＋12a≤0，? 2 2 2 解得－3≤a<0，故实数a的取值范围是－3≤a≤0. 答案：[－3，0] 10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x 解析：A＝{x|x<4}，由题意得AB，结合数轴易得a>4. 答案：(4，＋∞) 11．有下列几个命题： ①“若a>b，则a>b”的否命题； ②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x<4，则－2 解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a≤b”错误． ②原命题的逆命题为“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x≥4”正确． 答案：②③ 12．(2019·扬州四校联考)下列四个说法： ①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题； 11 ③“x>2”是“<”的充分不必要条件； x2 ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________． 解析：①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命 2 2 2 2 2 2 题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真11112－x11 命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分 x2x22xx2不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案：①② 13．(2019·南通数学学科基地命题)△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sin C＝(3cos A＋sin A)cos B”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一) π 解析：条件“△ABC中，角A，B，C成等差数列”?B＝；结论“sin C＝(3cos A3＋sin A)cos B”?sin(A＋B)＝3cos A·cos B＋sin Acos B?cos Asin B＝3cos Acos B?cos A＝0或sin B＝3cos B?A＝或B＝.所以条件是结论的充分不必要条件． 答案：充分不必要 14．已知命题p：x＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________． 解析：由x＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由?q的一个充分不必要条件是?p，可知?p是?q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1. 答案：[1，＋∞) 1．若a，b∈R，已知原命题是“若不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a－4b≥0”，给出下列命题： ①若a－4b≥0，则不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集； ②若a－4b<0，则不等式x＋ax＋b≤0的解集是空集； ③若不等式x＋ax＋b≤0的解集是空集，则a－4b<0； ④若不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a－4b<0； ⑤若a－4b<0，则不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集； ⑥若不等式x＋ax＋b≤0的解集是空集，则a－4b≥0. 其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)． 解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，命题的序号依次是①③②④. 答案：①③②④ 2．(2019·无锡质检改编)若函数f(x)＝2－(k－3)·2，则“k＝2”是“函数f(x) x2 －x2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 π 2π3
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