高考数学二轮复习第一部分专题篇专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计第一讲算法、复数、推理与证明课

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2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题六 算法、复数、推理与证明、概率与统计 第一讲 算法、复数、推理与证明课时作业

文

1．(2016·高考全国Ⅱ卷)设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝( ) A．－1＋2i C．3＋2i

B．1－2i D．3－2i

解析：先求复数z，再利用共轭复数定义求z. 由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴z＝3＋2i，故选C. 答案：C

2．(2016·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( ) A．8 C．27

B．9 D．36

解析：借助循环结构进行运算求解．

k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2； s＝1，k＝2，满足k≤2；

s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.

答案：B

3．我们知道，在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值3

a，类比上述2

结论，在边长为a的正四面体内任意一点到其四个面的距离之和为定值( ) A.6a 33a 3

B.6a 43a 4

C. D.

解析：正四面体内任意一点与其四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积．设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为

322a，正四面体的体积为412

a3，则有×答案：A

1

33226a(h1＋h2＋h3＋h4)＝a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝a. 4123

4．(2016·天津模拟)设复数z满足

z－i2 016

＝i(i为虚数单位)，则z＝( ) z＋i

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A．2

1 008

B．2

1 008

i i

C．－2

1 008

D．－2

1 008

解析：由

z－i2i2i1＋i22

＝i得z－i＝zi＋i，z＝＝＝－1＋i，则z＝(－1＋i)z＋11－i1－i1＋i

2 016

＝－2i，从而z答案：A

＝(z)

21 008

＝(－2i)

1 008

＝2

1 008

×i

1 008

＝2

1 008

×(i)＝2

42521 008

.故选A.

5．(2016·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( ) A．2 C．6

B．4 D．8

解析：借助循环结构进行运算，直至满足条件并输出结果．

S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；

n＝2不满足n>3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3； n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4； n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.

答案：B

6．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则2 016

A. 2 0172 015C. 2 016

9

a2a3a3a4a4a5

B.D.

＋

9

＋

9

＋…＋

9

a2 016a2 017

＝( )

2 017

2 0162 016

2 015

解析：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样端点上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n－3，即an＝3n－3.令Sn＝＋…＋∴

9＋9

a2a3a3a4a4a5

＋

9

＋

9

＋…＋

a11

＝＋anan＋11×22×3

111111n－1

＝1－＋－＋…＋－＝，

n－1n223n－1nn9＋

9＋…＋

9

a2a3a3a4a4a5a2 016a2 017

＝

2 015

.故选C. 2 016

答案：A

?1?

?的所有数按照从大到小的原则写成如下数表： 7．(2016·甘肃模拟)把数列?

?2n－1?

1

第k行有2

k－1

…

个数，第t行的第s个数(从左数起)记为A(t，s)，则A(6,10)＝________.

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101234

解析：前5行共有2＋2＋2＋2＋2＝31个数，A(6,10)为数列的第41项，令an＝，2n－11

则a41＝.

811

答案：

81

8．有6名同学参加演讲比赛，编号分别为1,2,3,4,5,6，比赛结果设特等奖一名，A，B，C，

D四名同学对于谁获特等奖进行预测： A说：不是1号就是2号获得特等奖； B说：3号不可能获得特等奖； C说：4,5,6号不可能获得特等奖；

D说明：能获得特等奖的是4,5,6号中的一个．

公布的比赛结果表明，A，B，C，D四人中只有一人判断正确． 根据以上信息，获得特等奖的是________号同学．

解析：由已知C，D两人的判断一真一假，如果D的判断正确，则B的判断也正确，与已知矛盾，故C的判断是正确的，那么A的判断错误，即获奖者不是1,2号，且B的判断错误，故获得特等奖的是3号同学． 答案：3

9．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝(1)数列??是等比数列；

?n??Sn?

n＋2

Sn(n∈N*)．证明： n(2)Sn＋1＝4an.

证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝

n＋2

Sn， n∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴

Sn＋1SnS1

＝2·，又∵＝1≠0，(小前提) n＋1n1

?Sn?

故??是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) ?n?

(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知

Sn＋1Sn－1

＝4·(n≥2)， n＋1n－1

Sn－1n＋1

＝4··Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提) n－1n－1

∴Sn＋1＝4(n＋1)·

又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)

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10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin13°＋cos17°－sin 13°cos 17°； ②sin15°＋cos15°－sin 15°cos 15°； ③sin18°＋cos12°－sin 18°cos 12°； ④sin(－18°)＋cos48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin(－25°)＋cos55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下： sin15°＋cos15°－sin 15°cos 15° 113＝1－sin 30°＝1－＝.

244

322

(2)三角恒等式为sinα＋cos(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.

4证明如下：

sinα＋cos(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sinα＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

α)

331312222

＝sinα＋cosα＋sin αcos α＋sinα－sin αcos α－sinα

4242233322

＝sinα＋cosα＝. 444

11．设{an}是公比为q的等比数列． (1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． 解析：(1)设{an}的前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q＋…＋a1q2

n－1

，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1q，

nna1，q＝1，??a11－qn∴Sn＝，∴Sn＝?a11－qn1－q，q≠1.??1－q

(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N， (ak＋1＋1)＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

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2

*

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a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

2kkk－1k＋1k－1k＋1a2·a1q＋a1q＋a1q， 1q＋2a1q＝a1q∵a1≠0，∴2q＝q2

kk－1

＋qk＋1

.

∵q≠0，∴q－2q＋1＝0， ∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

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