二重积分积分区域的对称性

情形一：积分区域D关于坐标轴对称

定理4设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则 1)当f (x, _y)二一 f(x, y)(即f (x, y)是关于y的奇函数)时，有

i i f (x, y)dxdy = 0 -

D

2)当f (x,—y) =f (x, y)(即f (x, y)是关于y的偶函数)时，有

f (x, y )dxdy =2 f (x, y) dxdy

D

Di

其中Di是由x轴分割D所得到的一半区域。

例5 计算|二 (xy - y)dxdy ，其中D为由y=2x与x = 2围成的区域。

3

2

2 f (x, y)dxdy ,当 f (-x, y)二

.f (x, y)dxdy

D

f (x, y).

D

2

0,当 f ( — x, y) 二 f (x, y).

D关于x轴对称，且

3

解：如图所示，积分区域

y」 2 0

x= 2

f (x, —y) = -(xy + y ) = _f (x, y)

即f(x,y)是关于y的奇函数，由定理1有 仃 f ( xy + y ) dxdy = 0 .

D

3

7 2 F

D

其中D2是由y轴分割D所得到的一半区域。

类似地，有: 定理5设二元函数

f (x, y)在平面区域D连续，且 D关于y轴对称，则

2所?。

解：如图所示，

于y轴对称，并且

y = -2x +2

f ( _x, y) = x2y 二

f (x, y)，即被积分函数是关于 x轴

:

的偶函数，由对称性定理结论有