5数值积分与数值微分课件-11

梯形公式余项

3b?a??R1?f???f???????[a,b] （5.9）

12

抛物线公式的余项

R?b?a?52?f???2880f?4??????[a,b]

5.10）

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（4）Newton-Cotes公式的数值稳定性 设计算函数f?xk?时产生舍入误差为?k

实际在计算机中参加计算的是f?xk?的近似值

f??xk??f?xk???kk?1,2?,n 故Newton-Cotes公式在计算机中产生的误差为

?n?nn??b?a??C?nn?if(xi)??b?a??C?if?(xi)i?1i?1n??b?a??C?n?

i?ii?1若记??max1?i?n?i，则有 n?n??b?a???C?n?ii?1

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由Cotes表5.1,当

ni?1??C时,i?0，有

n?n??b?a???Ci?n???b?a??

说明此时计算舍入误差可以控制，从而

Newton-Cotes公式是数值稳定的。

?n???CC但当n>8时，i有正有负，? 随n

nnii?1增大而增大，从而导致舍入误差增加。故n>8

时，Newton-Cotes公式是数值不稳定的。因而一般不用n>8的Newton-Cotes公式来做定积分计算。

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3. Gauss1）Gauss

求积公式

求积公式的构造与概念

n点的插值型求积公式的代数精度至少是n-1 ,那么是否还能提高其代数精度呢？ 若能，其代数精度最大能是多少？ 为回答这个问题，观察一下插值求积公式的构造方法，发现其至少具有n-1次代数精度的结论是在限定求积节点xi的前提下得出的，若让求积节点xi也可以自由取值，则就给提高代数精度创造了条件。

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