??x＝2cos α
1．(2018·益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为?(α为
?y＝sin α?
参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标π1
θ＋?＝.直线l与曲线C交于A，B两点． 方程为ρcos??3?2
(1)求直线l的直角坐标方程； (2)设点P(1，0)，求|PA|·|PB|的值．
π1ππ1
θ＋?＝得ρcos θcos －ρsin θsin ＝， 解：(1)由ρcos??3?2332又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以直线l的直角坐标方程为x－3y－1＝0.
??x＝2cos α
(2)由?(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，
??y＝sin α
?x＝23t＋1因为P(1，0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为?(t为参数)，
1?y＝2t将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋43t－12＝0， 12
所以t1·t2＝－，
7故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝
12
. 7
?x＝3cos θ?
2．(2018·合肥第一次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1：?(θ为参数)，
??y＝2sin θ
在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cos θ＝0.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值． 解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0. 因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，所以x2＋y2－2x＝0， 即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为1. 设曲线C1的动点M(3cos θ，2sin θ)，
由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1. 因为|MC2|＝
（3cos θ－1）2＋4sin2θ＝
5cos2θ－6cos θ＋5，
345
所以当cos θ＝时，|MC2|min＝，
55所以|MN|min＝|MC2|min－1＝45
－1. 5
??x＝cos θ
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?(θ为参
?y＝sin θ?
数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1. π
当α＝时，l与⊙O交于两点．
2
?π
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当?2?
1，
解得k＜－1或k＞1， ππ?π3π
，或α∈?，?. 即α∈??42??24?π3π?综上，α的取值范围是??4，4?.
?
?＜1＋k2?
2??x＝tcos απ3π
(2)l的参数方程为?(t为参数，＜α＜)．
44
?y＝－2＋tsin α?
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝＝0.
于是tA＋tB＝22sin α，tP＝2sin α.
tA＋tB
，且tA，tB满足t2－22tsin α＋12
??x＝tPcos α，
又点P的坐标(x，y)满足?
??y＝－2＋tPsin α，
所以点P的轨迹的参数方程是
?x＝22sin 2α
π3π
(α为参数，＜α＜)． ?4422
y＝－－cos 2α?22
4．(2018·昆明调研)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2，1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.
??x＝2＋tcos α解：(1)直线l的参数方程为?(t为参数)．
?y＝1＋tsin α?
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0， 3
由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos2α>，
4由根与系数的关系，
得t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3，
由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|， 由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2， 则(t1＋t2)2＝5t1·t2， 得(－4cos α)2＝5×3，
153解得cos2α＝，满足cos2α>，
16411
所以sin2α＝，tan2α＝，
1615所以直线l的斜率k＝tan α＝±15
. 15
5．(一题多解)(2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程8cos θ是ρ＝. 1－cos2θ
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
π
(2)若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．
4
??x＝1＋tcos α
解：(1)由题知直线l的参数方程为?(t为参数)．
??y＝tsin α
8cos θ
因为ρ＝，
2
1－cosθ所以ρsin2θ＝8cos θ，
所以ρ2sin2θ＝8ρcos θ，即y2＝8x.
2x＝1＋t?2π
(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为?(t为参数)，
42
?y＝2t代入y2＝8x可得t2－82t－16＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝82， t1·t2＝－16， 所以|AB|＝|t1－t2|＝
（t1＋t2）2－4t1·t2＝83.
π2
又点O到直线AB的距离d＝1×sin ＝，
42112
所以S△AOB＝|AB|×d＝×83×＝26.
222π
法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，
4设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2??y＝8x，由?得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0， ??y＝x－1，
??y1＋y2＝8，由根与系数的关系得?
?y1y2＝－8，?
1111
S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×（y1＋y2）2－4y1y2＝×82－4×（－8）＝×46＝26.
22226．(2018·陕西教学质量检测(一))在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
??x＝tcos α
?(t>0，α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线?y＝sin α?
π
θ＋?＝3. l的极坐标方程为2ρsin??4?
(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；
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