第七届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试题

第二型曲面积分

试证明：

??Pdydz?Qdxdy?0

S?P?0. ?x证明：设上半球面S的底平面为D,方向向下，S和D围成的区域记为?，由高

?斯公式得????????SD???P?P??Pdydz?Qdxdy???????x??y??dv --------------------4分 ?????DD由于底平面为负面，所以??Pdydz?Rdxdy????Rd?，再由题设条件得

??P?R?? -??Rd???????dv ?*? ?x?z?D??注意到上试对任何r>0都成立，由此证明R?x0,y0,z0??0 反证法：

若不然，设R?x0,y0,z0??0

由于??Rd??R??,?,z0??r2,这里??,?,z0??D.

D而当r?0?,R??,?,z0??R?x0,y0,z0? ，因此?*?左端为一个二阶的无穷小. 类似地，当

?P?x0,y0,z0??R?x0,y0,z0???P?R???0，? ??dv时一个三阶的无穷小，????x?y?x?z???而当

?P?x0,y0,z0??R?x0,y0,z0???0，该积分趋于0的阶高于3.因此?*?式右端阶

?x?y高于左端，从而当r很小，则

??Rd??D??P?R????dv， ????x?z???这与（*）式矛盾. ---------------------------------------10分

因此在任何点?x0,y0,z0?都有R?x0,y0,z0??0,故R?x,y,z?=0.带入（*）式得

?P?x,y,z?dv?0 ????x?重复前面的证明可知

?P?x0,y0,z0??P?0.由?x0,y0,z0?得任意性知?0.

?x?x编辑者注：可以说这道题证明点细微，用到反证法这一重要思想，通过比较阶次的高低来比较大小，这应该是我们平常不是很注意到的，在这道题中恰恰得到了很好的体现。细致推理，拿10分左右不是问题，满分也未尝不可. 总：

从本届试题看出，填空题没有啥大变动之处，解答题新增了空间几何问题，题都不是很难，对于曾经参加过全国高中数学联赛的学生来说，这些题相应于一个认识阶段来看，不是很难。考察基础，但却能体现厚重基础，思维清晰的良好素养.

估计起码参加这个决赛的起码获得70分左右，也考虑到大学学生事情繁杂，没有多大精力在这一枯燥的学科之上，毕竟不是学数学的.分数不重要，喜欢数学就足够了，并能用于生活就行.

与君共享，喜欢数学的都是不错的！

2016年6月于西安 学生编辑