导数与微分在经济学中的应用1111

导数与微分在经济中的应用

概括：数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义。在经济学中，运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。

数学在现代经济学中的作用越来越重要，在经济中常用的函数有很多，如需求函数与供给函数、成本函数、价格函数、收入函数和利润函数。然而导数作为高等数学中的一个

重要概念，是经济学应用的一个重要工具。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进一步研究相对变化率。在经济学中，运用导数可以对

经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。在经济学中，运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。

一、 经济中常用的函数

1、需求函数与供给函数

（1）需求函数。作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等。为了便于讨论我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量尽受市场价格的影响，即Q表示某种商品的需求量，P表示此种商品的价格，则用Q?f(p) 表示对某种商品的需求函数。例如，某空调的价格从3000元/台降到2000元/台时，相应的需求量就从600台增到1000台，显然需求是和价格相关的一个变量。一般来说，对某种商品的需求量Q随价格减少而增加，随价格增加而减少，所以需求函数是单调减少的函数。

（2）供给函数。站在卖方的立场上，设Q表示对某种商品的供给量，P表示此种商品的价格，则用Q?f(p)表示某种商品的供给函数。一般来说，作为卖方，对某种商品的供给量

Q是随价格P的增加而增加，随价格P的减少而减少，所以供给函数是单调增加的函数。

2、成本函数

成本函数产品的成本一般有两类：一类随产品的数量变化，如需要的劳动力，消耗的原料等；这种生产成本称为可变成本。另一类成本无论生产水平如何都固定不变，如房屋 设备的折旧费、保险费等，称为固定成本。设Q为某种产品的产量，C为生产此种产品的成本，生产每个单位产品的成本为a，固定成本为C，则成本函数为C?C(Q)?aQ? C。

0 3、价格函数、收入函数和利润函数

（1）对于价格函数，一般来说，价格是销售量的函数。生活中随处可见，买的东西越多 消费者就可以把价格压得更低。例如，某批发站批发100件衣服给零售商，批发定价，30元，若每次多批发10件衣服，相应的批发价格就降低2元，显然价格是和销售量相关的一个变量。在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P?P(Q)。要注意的是需求函数Q?f(p) 与价格函数P?P(Q)是互为反函数的关系。

（2）收入函数在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R。销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为R?R(Q)?PQ。其中Q 表示销售量，P表示价格。

（3）关于利润函数而言，利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为LL。则

L?L(Q)?R(Q)?C(Q)。其中Q表示产品的的数量R(Q)表示收入，C(Q)表示成本。

总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。

二、导数与微分在经济中的应用

1、边际分析

边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率。利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要分析方法。

一般地，设函数 y?f(x) 可导，则导数 f(x) 叫做边际函数。成本函数C?C(Q)的导数C(Q)叫做边际成本，其经济意义为当产量为Q时再生产一个单位的产品所增加的总成本；收入函数R?R(Q)的导数 R?(Q)叫做边际收入，其经济意义为当销售量为 Q 时再多销售一个单位产品所增加的销售总收入；利润函数L?L(Q)的导数L?(Q)叫做边际利润，其经济意义近似等于产量（或销售量）为Q时再多生产（或多销售）一个单位产品所增加（或减少）的利润。边际分析这种以导数为工具，以经济现象为内容的数学分析方法已深深融人到了经济学中，并成为经济学的一个重要组成部分。

(Q)?R(Q)?C(Q) 但由于利润函数为收入函数与总成本函数之差，即L。由导数的运算法则可知错误！未找到引用源。即边际利润为边际收入与边际成本之差．f?(际函数在x?x)表示边

00x0处的值，它反映了函数y?f(x)错误！未找到引用源。在点

x错误！未

找到引用源。处y关于x错误！未找到引用源。的变化速度．在点错误！未找到引用源。

x?1，y错误！未找到引用源。相应处，x错误！未找到引用源。改变了一个单位，即?地改变了?y，如果单位很小，则有?y?dy?f?(x)．这说明函数错误！未找到引用源。

0在错误！未找到引用源。处，当错误！未找到引用源。有一个单位改变时，函数错误！未找到引用源。近似改变了f?(x)．

如：函数错误！未找到引用源。在x?10处边际函数值为错误！未找到引用源。，它表示了当错误！未找到引用源。时，若错误！未找到引用源。改变了一个单位，函数y近似地要改变错误！未找到引用源。个单位． 例1 设某商品的成本函数为C(Q)?1000?Q-吨)

求当错误！未找到引用源。时的总成本、平均成本、及边际成本，且当产量错误！未找到引用源。为多少时平均成本最小，并求出最小平均成本．

Q210错误！未找到引用源。 (单位：C-元，

解 总成本 C(Q)?1000?Q210,C(120)?2440(元) 错误！未找到引用源。,

C(Q),C(120)?20.33(元) 错误！未找到引用源。 错误！平均成本 C?吨Q__未找到引用源。

边际成本 C?(Q)?平均成本函数 y??Q,C?(120)?24 ， 5C(Q)??1000Q? Q10由于 y??C(Q)??10001? 210Q令y??0错误！未找到引用源。Q?100．所以当错误！未找到引用源。时，平均成本最小，且最小平均成本为错误！未找到引用源。．

例2 某厂生产某种产品错误！未找到引用源。件时的总成本函数为错误！未找到引用源。（元），单位销售价格为错误！未找到引用源。（元/件），求收入函数错误！未找到引用源。并问产量（销售量）为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？

解：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

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令错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。．

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

即产量为错误！未找到引用源。件是可使利润达到最大，最大利润是错误！未找到引用源。元.

例3 已知某商品的需求函数是错误！未找到引用源。（件），其中错误！未找到引用源。是价格（元/件），求

使收入最大的销售量Q和相应最大收入.

解： 错误！未找到引用源。

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错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

令 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

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错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 即使收入最大的销售量为600件，最大收入为3600元.

2、弹性理论

在西方微观经济学中, 弹性是用来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。具体地说, 当一个经济变量发生1%的变动时, 由它引起另一个经济变量变动的百分比。因此, 需求的价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量的变动对于该商品的价格的变动的反应程度。或者说, 它是衡量一种商品的需求量对其价格变化的反应敏感程度, 这种敏感程度通常是用需求价格弹性系数来表示。其公式为：需求的价格弹性系数=需求量变动率/价格变动率。同样, 供给的价格弹性表示在一定时期内一种商品的价格变动对于该商品的供给量变动的影响。其公式为：供给的价格弹性系数=供给量变动率/价格变动率。 需求的价格弹性和供给的价格弹性分为点弹性和弧弹性。而价格弧弹性的计算可以有三种情况, 它们分别是涨价时的弧弹性、降价时的弧弹性, 以及中心公式计算的弧弹性。至于到底应该采用哪一种计算方法, 这需要具体情况和需要而定。并且, 一种商品需求的价格弹性与供给的价格弹性的大小是各种影响因素综合作用的结果, 是决定商品供求变化方向、均衡数量及价格水平的重要因素。

用西方经济学的价格弹性理论研究中国市场的价格弹性的变化, 最关键是科学地计算产品的供给价格弹性和需求价格弹性。 （1）弹性的定义

设函数y?f(x)在点x处可导，函数的相对改变量

?y?y与自变量的相对改变量之比，当yy?x???0错误！未找到引用源。时的极限称为函数y?f(x)在点处的相对变化率，或称