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中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题及答案

来源:用户分享 时间:2025/7/11 16:27:08 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】 【分析】

5 2(1)根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得:∠CAD=∠G,可得AE=EG; (2)作辅助线,证明△BEF≌△GEC(SAS),可得结论;

(3)如图3,作辅助线,构建平行线,证明四边形DMEN是平行四边形,得EM=DN=

1AC,计算可得结论. 2【详解】

证明:(1)如图1,过E作EH⊥CF于H,

∵AD⊥BC, ∴EH∥AD,

∴∠CEH=∠CAD,∠HEF=∠G, ∵CE=EF, ∴∠CEH=∠HEF, ∴∠CAD=∠G, ∴AE=EG;

(2)如图2,连接GC,

∵AC=BC,AD⊥BC, ∴BD=CD,

∴AG是BC的垂直平分线, ∴GC=GB, ∴∠GBF=∠BCG, ∵BG=BF, ∴GC=BE, ∵CE=EF,

∴∠CEF=180°﹣2∠F, ∵BG=BF,

∴∠GBF=180°﹣2∠F, ∴∠GBF=∠CEF, ∴∠CEF=∠BCG,

∵∠BCE=∠CEF+∠F,∠BCE=∠BCG+∠GCE, ∴∠GCE=∠F, 在△BEF和△GCE中,

?CE?EF???GCE??F, ?CG?BF?∴△BEF≌△GEC(SAS), ∴BE=EG;

(3)如图3,连接DM,取AC的中点N,连接DN,

由(1)得AE=EG, ∴∠GAE=∠AGE,

在Rt△ACD中,N为AC的中点,

1AC=AN,∠DAN=∠ADN, 2∴∠ADN=∠AGE, ∴DN∥GF,

在Rt△GDF中,M是FG的中点,

∴DN=

1FG=GM,∠GDM=∠AGE, 2∴∠GDM=∠DAN, ∴DM∥AE,

∴四边形DMEN是平行四边形,

∴DM=

1AC, 2∵AC=AB=5,

∴EM=DN=

5. 2【点睛】

∴EM=

本题是三角形的综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边中线的性质,等腰三角形的性质和判定,平行四边形的性质和判定等知识,解题的关键是作辅助线,并熟练掌握全等三角形的判定方法,特别是第三问,辅助线的作法是关键.

8.如图,点O是正方形ABCD两条对角线的交点,分别延长CO到点G,OC到点E,使OG=2OD、OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG.

(1)如图1,若正方形OEFG的对角线交点为M,求证:四边形CDME是平行四边形. (2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转,得到正方形OE′F′G′,如图2,连接AG′,DE′,求证:AG′=DE′,AG′⊥DE′;

(3)在(2)的条件下,正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N,如图3,设旋转角为α(0°<α<180°),若△AON是等腰三角形,请直接写出α的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°. 【解析】 【分析】

(1)由四边形OEFG是正方形,得到ME=CD∥GE,CD=

1GE,根据三角形的中位线的性质得到21GE,求得CD=GE,即可得到结论; 2(2)如图2,延长E′D交AG′于H,由四边形ABCD是正方形,得到AO=OD,

∠AOD=∠COD=90°,由四边形OEFG是正方形,得到OG′=OE′,∠E′OG′=90°,由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC,求得∠AOG′=∠COE′,根据全等三角形的性质得到AG′=DE′,∠AG′O=∠DE′O,即可得到结论;

(3)分类讨论,根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论. 【详解】

(1)证明:∵四边形OEFG是正方形, ∴ME=

1GE, 21GE, 2∵OG=2OD、OE=2OC, ∴CD∥GE,CD=∴CD=GE,

∴四边形CDME是平行四边形;

(2)证明:如图2,延长E′D交AG′于H,

∵四边形ABCD是正方形, ∴AO=OD,∠AOD=∠COD=90°, ∵四边形OEFG是正方形, ∴OG′=OE′,∠E′OG′=90°,

∵将正方形OEFG绕点O逆时针旋转,得到正方形OE′F′G′, ∴∠G′OD=∠E′OC, ∴∠AOG′=∠COE′, 在△AG′O与△ODE′中,

?OA=OD???AOG?=?DOE?, ?OG?=OE??∴△AG′O≌△ODE′

∴AG′=DE′,∠AG′O=∠DE′O, ∵∠1=∠2,

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