三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE与△CAE中
EAOB??E??E(公共角) ∵???DBE??CAE(已证)
?BD?AC(已知)? ∴△DBE≌△CAE （AAS）
∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。
D图7?1C（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）
二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE 分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与F∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 ∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
ADBE12图9?1C
??1??2(已知) ∵ ? ?BE?BE(公共边)??BEF??BEC(已证)?∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=
1CF （全等三角形对应边相等） 2 ∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC
在△ABD与△ACF中
??BAC??CAF(已证)? ??BDA??BFC(已证)
?AB＝AC(已知)? ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE
四、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN
?AN?DN(辅助线的作法)中 ∵ ? ??A??D(已知)?AB?DC(已知)?∴△ABN≌△DCN （SAS）
∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）
在△NBM与△NCM中
ANDBM图11?1C?NB＝NC(已证) ∵??BM＝CM(辅助线的作法)
?NM＝NM(公共边)?∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。 解：过点D作DG//AC，交BF于点G 所以DG：FC＝BD：BC
因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，FC＝4DG
因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2
即 以AF：FC＝
例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD 4DG＝1：6
所
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