(全国通用版)2020高考数学二轮复习 压轴大题突破练(四)函数与导数(2)文

(四)函数与导数(2)

1．(2018·成都模拟)已知f(x)＝ln x－ax＋1(a∈R)． (1)讨论函数的单调性；

(2)证明：当a＝2，且x≥1时，f(x)≤e

x－1

－2恒成立．

(1)解 ∵ f(x)＝ln x－ax＋1，a∈R， ∴f′(x)＝1－ax＋1

x－a＝x，

当a≤0时，f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间，

当a>0时，增区间为??1?

0，a???

，减区间为??1?a，＋∞???

.

(2)证明 当x∈[1，＋∞)时，由(1)可知当a＝2时，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝－1，

再令G(x)＝e

x－1

－2，

在x∈[1，＋∞)上，G′(x)＝ex－1

>0，G(x)单调递增，

所以G(x)≥G(1)＝－1，

所以G(x)≥f(x)恒成立，当x＝1时取等号， 所以原不等式恒成立．

2．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝λ(x2

－1)(λ为常数)． (1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值； (2)当x≥1时，f(x)≤g(x)，求实数λ的取值范围． 解 (1)由题意得f′(x)＝ln x＋1，g′(x)＝2λx， 又f(1)＝g(1)＝0，

且函数y＝f(x)与y＝g(x)在x＝1处有相同的切线， ∴f′(1)＝g′(1)，则2λ＝1，即λ＝12.

(2)设h(x)＝xln x－λ(x2

－1)， 则h(x)≤0对?x∈[1，＋∞)恒成立． ∵h′(x)＝1＋ln x－2λx，且h(1)＝0， ∴h′(1)≤0，即1－2λ≤0，∴λ≥1

2

.

1

另一方面，当λ≥1

2时，记φ(x)＝h′(x)，

则φ′(x)＝11－2λxx－2λ＝x.

当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)≤0， ∴φ(x)在[1，＋∞)内为减函数，

∴当x∈[1，＋∞)时，φ(x)≤φ(1)＝1－2λ≤0， 即h′(x)≤0，

∴h(x)在[1，＋∞)内为减函数，

∴当x∈[1，＋∞)时，h(x)≤h(1)＝0恒成立，符合题意． 当λ<1

2时，

①若λ≤0，

则h′(x)＝1＋ln x－2λx≥0对?x∈[1，＋∞)恒成立， ∴h(x)在[1，＋∞)内为增函数，

∴当x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0恒成立，不符合题意． ②若0<λ<1

2

，

令φ′(x)>0，则1

2λ，

∴φ(x)在???1，12λ???

内为增函数， ∴当x∈???1，12λ???时，φ(x)>φ(1)＝1－2λ>0， 即h′(x)>0，

∴h(x)在??1?1，2λ???

内为增函数， ∴当x∈??1?1，2λ???

时，h(x)>h(1)＝0，不符合题意， 综上所述，λ的取值范围是??1?2，＋∞???

. 3．(2018·山东省名校联盟模拟)已知f(x)＝xex＋a(x＋1)2

＋1e.

(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值； (2)当x>－2时，f(x)≥0，求a的取值范围． 解 (1)f′(x)＝(x＋1)ex＋2a(x＋1) ＝(x＋1)(ex＋2a)，

2

若函数f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝0， 所以a＝－e

2

，

经检验，当a＝－e

2时，函数f(x)在x＝1处取得极值．

(2)f′(x)＝(x＋1)ex＋2a(x＋1)＝(x＋1)(ex＋2a)， ①a≥0时，当－2－1时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 又f(－1)＝0，∴当x>－2时，f(x)≥0成立． ②a<0时，令ex＋2a＝0，得x＝ln(－2a)， 当ln(－2a)>－1，即a<－1

2e

时，

当－2ln(－2a)时，f′(x)>0； 当－1

则f(x)在(－2，－1)，(ln(－2a)，＋∞)上为增函数，在(－1，ln(－2a))上为减函数，又f(－1)＝0，

∴f(x)在(－1，ln(－2a))上小于零，不符合题意，舍去． 当ln(－2a)＝－1，即a＝－

1

2e

时， 当－2－1时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 又f(－1)＝0，

当x∈(－2，－1)时，f(x)<0，不符合题意，舍去； 当－2

12e

2e

2时， 当－2－1时，f′(x)>0， 当ln(－2a)

则f(x)在(－2，ln(－2a))，(－1，＋∞)上为增函数， 在(ln(－2a)，－1)上为减函数，

又f(－1)＝0，要使f(x)≥0恒成立，则f(－2)≥0， 则a≥2－e

e2，

又∵－12e

2e

2，

3

∴

2－ee≤a<－122e

2. 当ln(－2a)≤－2，即－

1

2e

2≤a<0时， 当x>－1时，f′(x)>0， 当－2

则f(x)在(－2，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数， 又f(－1)＝0，满足题意， 综上所述，a的取值范围为?

?2－e?e2，＋∞???

. 4．(2018·威海模拟)已知函数f(x)＝12x2x＋ax－ae，g(x)为f(x)的导函数．

(1)求函数g(x)的单调区间；

(2)若函数g(x)在R上存在最大值0，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最大值； (3)求证：当x>0时，xex－eln x>132

2x＋x.

(1)解 由题意可知，g(x)＝ f′(x)＝x＋a－aex， 则g′(x)＝1－aex， 当a≤0时，g′(x)>0，

∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a>0时，当x<－ln a时，g′(x)>0， 当x>－ln a时，g′(x)<0，

∴g(x)在(－∞，－ln a)上单调递增， 在(－ln a，＋∞)上单调递减，

综上，当a≤0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无递减区间；

当a>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－ln a)，单调递减区间为(－ln a，＋∞)．(2)解 由(1)可知，a>0，

且g(x)在x＝－ln a处取得最大值，

g(－ln a)＝－ln a＋a－a·e

ln1a＝a－ln a－1，

即a－ln a－1＝0，

观察可得当a＝1时，方程成立，

令h(a)＝a－ln a－1(a>0)，h′(a)＝1－1a－1

a＝a，

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