第七章 振动
【例题】
例7-1 弹簧上端固定，下系一质量为m1的物体，稳定后在m1下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了?x．若将m2移去，并令其振动，则振动周期为
(A) T?2?m1?xm2?x ． (B) T?2?．
m2gm1gx (cm) t (s) (C) T?1m1?xm2?x． (D) T?2?．
2?m2g(m1?m2)gO 例7-2 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定振子：在 s时速度为零．在 s时动能最大．
1 2
例7-3 在竖直面内半径为R的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动．此物体的运动是否是简谐振动？为什么？
【答】物体是作简谐振动。
当小物体偏离圆弧形轨道最低点??角时，其受力如图所示．
R O O切向分力 Ft??mgsin N ? ∵??角很小， ∴ sin???≈? ?牛顿第二定律给出 Ft?mat 即 ?mg??md2(R?)/dt2 d2?/dt2??g?/R???2? 物体是作简谐振动．
例7-4 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0 = 1.2 cm而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式．
【解】设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数 k?mg/l0． 选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x处时，根据牛顿第二定律得
mg?k(l0?x)?md2x/dt2
将 k?mg/l0 代入整理后得 d2x/dt2?gx/l0?0 ∴ 此振动为简谐振动，其角频率为．
?Ft?mg
??g/l0?28.58?9.1?
设振动表达式为 x?Acos(?t??)
由题意： t = 0时，x0 = A=2?10m，v0 = 0，解得 ? = 0 ∴ x?2?10?2cos9(.1?t)
例7-5 用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v～t ）
v (m/s) t (s) ?2关系曲线如图所示,则振动的初相位为 O (A) ?/6. (B) ?/3. ?12vm-vm (C) ?/2. (D) 2?/3.
例7-6 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为：
(A) x?2cos(2?t?2?)． (B) x?2cos(2?t?2?)．
O -1 -2 x (cm) t (s) 1 333333(C) x?2cos(4?t?2?)． (D) x?2cos(4?t?2?)．
33例7-7 一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为 x?4?10?21cos(2?t??) (SI)．从t = 0时刻起，
3到质点位置在x = -2 cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为
(A)
1111s (B) s (C) s (D) s 8642 v0 = 0 (a) v0 (b) 例7-8 在t = 0时，周期为T、振幅为A的单摆分别处于图(a)、(b)两种状态．若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为(a) ；(b) ．
例7-9 一个轻弹簧在60N的拉力下可伸长30cm，现将以物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg．待其静止后再把物体向下拉10 cm，然后释放．问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？
【解】 (1) 设小物体随振动物体的加速度为a，按牛顿第二定律有（取向下为正）
mg?N?ma N?m(g?a)
当N = 0，即a = g时，小物体开始脱离振动物体，
已知 A = 10 cm，k?60/0.3?200N/m 有 ??k/m?50rad·s1 系统最大加速度为 amax??2A?5 m·s2
--
此值小于g，故小物体不会离开．
(2) 如使a > g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得g?a???2x x??g/?2??19.6 cm 即在平衡位置上方19.6 cm处开始分离
由amax??2A?g，可得 A?g/?2=19.6 cm．
A/2 -A x x2 t x1 例7-10 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可O 叠加，则合成的余弦振动的初相为
(A) 3?． (B) ?． (C) 1?． (D) 0．
22例7-11 一质点同时参与两个在同方向的简谐振动，其表达式分别为
x1?4?10?2cos(2t????), x2?3?10?2cos(2t?5???) (SI)， 则其合成振动的振幅为 ，初相为 ．
【例题答案】
例7-1[ B ]；例7-2 n n = 0,1,2,…；0.5(2n+1) n = 0,1,2,… 例7-5 [ A ]； 例7-6[ C ]； 例7-7[ D ]； 例7-8 x?Acos(-
2?t12?t??) x?Acos(??) T2T例7-10 [B]；例7-11 1×102 m ?/6
【练习题】
7-1 一质点作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t??)，其中m是质点的质量，k是弹簧的劲度系数，T是振动的周期．在求质点的振动动能时，下面哪个表达式是对的： (A)
11m?2A2sin2(?t??)． (B) m?2A2cos2(?t??)． 22121kAsin(?t??)． (D) kA2cos2(?t??)． 22 (C)
7-2 一质点作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t??)，当时间t = T/2（T为周期）时，质点的速度为
(A) ?A?sin?． (B) A?sin?． (C) ?A?cos?． (D) A?cos?．
7-3 一物体作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t?1?)．在 t = T/4（T为周期）时刻，物体的
4加速度为
(A) ?11112A?2． (B) 2A?2． (C) ?3A?2． (D) 3A?2． 22227-4 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0 = 1.2 cm而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式．
7-5 一质点作简谐振动．其振动曲线如图所示．根据此图，它的 周期T = ；用余弦函数描述时初相? = ．
4 O -2 t (s) 2 x 7-6 一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T1和T2．将它们拿到月球上去，相应的周期分别为T1?和T2?．则有
(A) T1??T1且T2??T2． (B) T1??T1且T2??T2．
(C) T1??T1且T2??T2． (D) T1??T1且T2??T2．
7-7 一弹簧振子系统具有1.0 J的振动能量，0.10 m的振幅和1.0 m/s的最大速率，则弹簧的劲度系数为 ，振子的振动频率为 ．
7-8 两个同方向的简谐振动曲线如图所示．合振动的振幅为 ；合振动的振动方程为 ．
· x x1(t) T x2(t) t A2 A1 O -A1 -A2 7-9 一单摆的悬线长l = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方0.45 m处有一小钉，如图．设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为 ；左右两方周期之比T1/T2的近似值为 ．
7-10 在竖直面内半径为R的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动.试证明：物体作简谐振动的周期为：T?2?R/g
0.45 m 小钉 OR
【练习题答案】
7-1 A 7-2 B
7-3 B
7-4解：设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数 k?mg/l0．
选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x处时，根据牛顿第二定律得
mg?k(l0?x)?md2x/dt2
k(l0+x) 将 k?mg/l0 代入整理后得 d2x/dt2?gx/l0?0 kl 0 l0 ∴ 此振动为简谐振动，其角频率
x mg x mg ??g/l0?28.58?9.1?
?2设振动表达式为 x?Acos(?t??)
由题意： t = 0时，x0 = A=2?10m，v0 = 0，解得 ? = 0
∴ x?2?10?2cos(9.1?t)
7-5 3.43 s -2?/3 7-6 D
7-7 2×102 N/m 1.6 Hz
7-8 |A1 – A2| x?A2?A1cos(2?t?1?)
T27-9 0.84 0.84
7-10证明： 当小物体偏离圆弧形轨道最低点??角时，其受力如图所示．
切向分力 Ft??mgsin? ∵ ??角很小， ∴ sin???≈? 牛顿第二定律给出 Ft?mat 即 d2?/dt2??g?/R???2? 将上式和简谐振动微分方程比较可知，物体作简谐振动．
由③知
??g/R 周期 T?2?/??2?R/g
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