漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题
∴ 满足条件的整数对(p，q)的个数为3。
??x???2x???x10．?x?表示不超过x的最大整数，则满足条件??2??，?的x??x?5的取值范围2为 。
【答案】0?x?12或6?x?52
【解答】（1）当x?0时，?x???1，?2x???1，??x2???0。 ∴ x?0时，方程?x???2x????x2??无解。
（2）当0?x?12时，?x???2x??0，??x2???0，等式?x???2x????x2??成立。 （3）当
1222?x?1时，?x???2x??1，??x???0，等式?x???2x????x??不成立。 （4）当1?x?32时，?x???2x??3。1?x2?94，??x2???1或??x2???2。 等式?x???2x????x2??不成立。
（5）当
32?x?2时，?x???2x??4。94?x2?4，??x2???2或??x2???3。 等式?x???2x????x2??不成立。
（6）当2?x?52时，?x???2x??6，由??x2???6知，6?x?7。于是，6?x?52。 综合得，满足条件的x的取值范围为0?x?152或6?x?2。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．如图，二次函数y?mx2?nx?p的图像过A、B、C三点，其中C(?1，?1)，点A、B在x轴上（A在点O左侧，B在点O右侧），且sin?BAC?255，sin?ABC?55。
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC外接圆的半径。
【解答】（1）作CE?x轴于E，则CE?1。
由sin?BAC?255，sin?ABC?555知，CA?2，CB?5。
∴ EA?12，EB?2。 ∴点A坐标为(?32，0)，点B坐标为(1，0)。 ……… 5分 设所求二次函数的解析式为y?m(x?32)(x?1)。
将点C(?1，?1)的坐标代入二次函数解析式，得?1?m(?1?32)(?1?1)。
∴ m?1，二次函数得解析式为y?(x?32)(x?1)，即y?x2?132x?2。 ……… 10分
（2）由（1）知，AB?5，AB2?CA2?CB22。
∴ CA?CB。 ………………………………… 15分
∴ △ABC外接圆的半径R?12AB?2。 ………………………………… 20分
12．已知关于x的方程x2?44x?n2?n?20?0有有理数根，求正整数n的值。 【解答】∵ 关于x的方程x2?44x?n2?n?20?0有有理数根，且n为正整数， ∴ △?442?4(?n2?n?20)?4n2?4n?2016为完全平方数 …………… 5分 设4n2?4n?2016?k2（k为正整数），
则(2n?1)2?2015?k2，k2?(2n?1)2?2015?5?13?31。
∴ (k?2n?1)(k?2n?1)?2015?5?13?31。 …………… 10分 ∵ k?2n?1为正整数，k?2n?1为整数，且k?2n?1?k?2n?1，
∴ ??k?2n?1?2015?k?2n?1?403?k?2n?1?155?k?2n?1?65?k?2n?1?1，或??k?2n?1?5，或??k?2n?1?13，或??k?2n?1?31。 ……………………… 15分
解得，??k?1008n?503，或??k?204?k?84?k?48?99，或?n?，或?n?35?。
??n?8∴ 正整数n的值为503或99或35或8。 ………………… 20分 注：n?503时，方程化为x2?44x?253532?0，即(x?482)(x?526)?0。
5
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n?99时，方程化为x2?44x?9920?0，即(x?80)(x?124)?0。 n?35时，方程化为x2?44x?1280?0，即(x?20)(x?64)?0。
∴ MA?MD，?CDM??CAM?135?，?MDN??CDM??NDC?90?。
22?DN?∴ MN2?DM2AM?2BN。 …………………… 20分
14．在0与21之间插入n个正整数a1，a2，…，an，使其满足0?a1?a2?L?an?21。
n?8时，方程化为x2?44x?92?0，即(x?2)(x?46)?0。
13．如图，△ABC是等腰直角三角形，CA?CB，点N在线段AB上（与A、B不重合），若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，a1，a2，…，an，21这n?2个数中某两个数的差。求n的最小值。
点M在射线BA上，且?NCM?45?。求证：MN2?AM2?BN2。
【答案】如图，作点A关于直线MC的对称点D，连结DA、
DM、DC，DN，则△MDC≌△MAC。
∵ △ABC是等腰直角三角形，CA?CB，且?NCM?45?，
∴ ?DCN??DCM??MCA??ACN??DCM?45?，
?BCN??BCA??NCA?90??(45???MCA)?45???MCA?45???DCM。 ∴ ?DCN??BC。
N ……………………………… 5分 又CD?CA?CB，CN?CN。
∴ △DCN≌△BC。N …………………… 10分 ∴ ND?NB，?CDN??CBN?45?。 又由△MDC≌△MAC，知
?CDM??CAM?180???CAB?180??45??135?。
∴ ?MDN??MDC??ND1C?35?4?5?9?。0 ? …………………… 15分
∴ MD?DN。 又MD?MA，
∴ MN2?DM2?DN2?A2M?。B2N …………………… 20分
另解：如图，△CBN沿CN翻折得△CDN，则△DCN≌△BCN。
∴ CD?CB?C，
ADN?BN，?CDN??CBN?45?，?DCN??BCN。 …… 5分 ∵ ?NCM?45?，
∴ ?DCM??DCN??MCN??B4C5?N9?0????AC4 5N???45???ACN??ACM。 ………………… 10分 又CD?CA，CM?CM。
∴ △DCM≌△AC。M …………………… 15分
6
【解答】 ∵ n?2个数至多可以表示(n?1)?n?(n?1)?L?2?1?(n?1)(n?2)2个不同的且为正数的差。
∴ 依题意有，
(n?1)(n?2)2?21，即(n?5)(n?8)?0。
∴ n?5。 …………… 5分 下面证明n?5不符合要求。
若n?5符合要求，则由n?5时，
(n?1)(n?2)2?21知，由0，a1，a2，a3，a4，a5，21这7个数两两之差（大数减去小数）所得的下列21个数：a1，a2，a3，a4，a5，21，a2?a1，
a3?a1，a4?a1，a5?a1，21?a1，a3?a2，a4?a2，a5?a2，21?a2，a4?a3，a5?a3，21?a3，
a5?a4，21?a4，21?a5互不相同。于是它们是1，2，3，…，21的一个排列。……… 10分
记这21个数的和为S，则
S?(a1?5a1)?(2a2?4a2)?(3a3?3a3)?(4a4?2a4)?(5a5?a5)?6?21
??4a1?2a2?2a4?4a5?6?21。可见S为偶数。
另一方面，S?1?2?3?L?21?21?222?231为奇数，与S为偶数矛盾。 ∴ n?5不符合要求。 …………………… 15分 n?6符合要求。如插入2，5，8，12，19，20。（不唯一） 可以验证：用0，2，5，8，12，19，20，21这8个数中某两个数的差可以表示1，2，3，…，21中任意一个数。
（1?21?20，
2?21?19，3?8?5，4?12?8，5?5?0，6?8?2，7?19?12，8?20?12，9?21?12，10?12?2，11?19?8，12?20?8，13?21?8，14?19?5，15?20?5，16?21?5，17?19?2，18?20?2，19?19?0，20?20?0，21?21?0。）
可见n的最小值为6。 …………………… 20分
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