学习好资料 欢迎下载
山东省烟台市芝罘区数学2015-2016高三专题复习 -数列（1）求通项方法及经典练习（含答案）
烟台乐博士教育特供 明老师整理
1、定义法：
直接求首项和公差或公比。
2、公式法：
?Sn (n?1)an??两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．
S?S (n?2)n?1?n例、数列?an?的各项都为正数，且满足Sn解一：由Sn?a?1??n42?n?N?，求数列的通项公式．
*22?a?1??n42?n?N?得4a*n?1?4?Sn?1?Sn???an?1?1???an?1?化简得
?an?1?an??an?1?an?2??0，因为an?0,?an?1?an?2，
又4S1?4a1??a1?1?得a1?1，故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an?2n?1．
2解二：由Sn化简可得
?a?1??n42?n?N?，可得2*Sn?an?1,?2Sn?Sn?Sn?1?1?n?2?
?Sn?1?Sn?1，即Sn?Sn?1?1，
?2又S1?1，所以数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴Sn?n，从而Sn?n2，所以an?Sn?Sn?1?2n?1，又a1?1也适合，故an?2n?1．
练习：已知数列{a n}的前n项和S n满足an?2SnSn?1?0（n?2），a1=1，求an．
2?1(n?1)??2答案：a n=?． 1??(n?2)??2n(n?1)扩展一：作差法
例、在数列{an}中，a1?1，a1?2a2?3a3??nan?(n?1)2?n，求an．
解：由a1?2a2?3a3??nan?(n?1)2?n，得a1?2a2?3a3??(n?1)an?1?(n?2)2?n?1，
学习好资料 欢迎下载
?1 (n=1)两式相减，得nan??6n?6，∴an??． ?6?6n (n?2)??n练习（理）：已知数列{an}满足a1?1，an?a1?2a2?3a3?解：由an?a1?2a2?3a3?得an?1?a1?2a2?3a3?即
?(n?1)an?1(n?2)，
?(n?1)an?1(n?2)，求an．
?(n?1)an?1?nan，两式相减，得an?1?an?nan，
aaan?1?n?1(n?2)，所以an?n?n?1?an?1an?2an?a3?a2?[n(n?1)?a2?4?3]a2?n!a2又由已知，得2a2?a1?2a2，则a2?a1?1，代入上式，得an?1?3?4?5??n?n!， 2?1 (n?1)?所以，{an}的通项公式为an??n!．
(n?2)??2扩展二、作商法
例、在数列{an}中，a1?1，对所有的n?2，都有a1?a2?a3??an?n2，求an． 解：∵a1?a2?a3??an?n，∴a1?a2?a3??a2?n?n?()122n2，故当n?2时，两式相除，得an?(n?1)2，
?1 (n=1)2∴an??． ?n (n?2)?(n?1)2?3、 叠加法：对于型如an?1?an?f(n)类的通项公式．
例、在数列{an}中，a1?3,an?1?an?答案：an?4?1. n1，求通项公式an.
n(n?1)例、已知数列?an?满足an?1?2an?2n?1?3n?1（n?N*），a3?52，求通项an. 解：由an?1?2an?2n?1?3n?1，两边同除以2n?1an?1an3n1，得n?1?n?n?1?n?1?1?n?1?，列出相加得
2222
学习好资料 欢迎下载
2n?1ana11?3?3??3??????????????2n22??3???2?2??
2n?11?1?1??1??????????????n?12??2???2?2??又由已知求得a1?6，∴an?n?2n?3n?1?n?N*?．
练习：已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式．
3?3n答案：an?2??n?2?3n?n?1．
1?34、叠乘法：一般地，对于型如an?1=f(n)·an的类型
例（理）、已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式． 解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则
an?n?1an?1?2(n?1)5n，故ananan?1??an?1an?2?a3a2??a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2][2(1?1)?51]?3a2a1(n?1)?(n?2)??2?1?2[n(n?1)??3?2]?5?3?3?2?5n?1n(n?1)2?n!，所以数列{an}的通项公式为
an?3?2n?1?5n(n?1)2?n!．
12练习：在数列{an}中，a1?，an?1n?1． ?an?1(a≥2），求an． 答案：an?n?1n(n?1）5、构造法：型如a n+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0， p≠1)的数列
(1)f(n)= q (q为常数) 一般地，递推关系式a +1=pan+q (p、q为常数，且p≠0，p≠1)等价与
an?1?qqq?p(an?)，则{an?}为等比数列，从而可求an．
1?p1?p1?p例、已知数列{an}满足a1?解：由an?3?an?11，an?（n?2），求通项an． 223?an?1111{1?a}1?an)1?a??0，得1?an??(，又，所以数列是首项为，n?112222111公比为?的等比数列，∴an?1?(1?a1)(?)n?1?1?(?)n．
222练习：已知数列{an}的递推关系为an?1?2an?1，且a1?1，求通项an． 答案：an?2n?1．
学习好资料 欢迎下载
(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得q则可转化为bn+1=pbn+q的形式求解．
例、已知数列{an}中，a1=
an?1anan，令，?p?1b?nnn?1nqqq511，an?1?an?()n?1，求通项an． 6322n22(2a n)+1，令b n=2 na n，则bn+1=bn+1，bn+1-3=（bn-3） 333解：由条件，得2 n+1a n+1=
424223易得 b n=?()n?1?3，即2na n=?()n?1?3， ∴ an=?n?n．
333332练习、已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求通项an．
31答案：an?(n?)2n．
22(3) f(n)为等差数列，如an?1?Aan?Bn?C型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）
例、已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?2n?1（n?2），求
12．
解：令bn?an?An?B，则an?bn?An?B，∴an?1?bn?1?A(n?1)?B，代入已知条件， 得bn?An?B?[bn?1?A(n?1)?B]?2n?1，即bn?bn?1?(A?2)n?(A?B?1)，
1212121212令?2?0，??1?0，解得A=－4，B=6，所以bn?bn?1，且bn?an?4n?6，
A2A2B212∴{bn}是以3为首项、以为公比的等比数列，故bn?1233，故a??4n?6． nn?1n?122点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．
练习：在数列{an}中，a1?，2an?an?1?6n?3，求通项an．
32
相关推荐：
loading