答案 充分不必要
解析 由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件．
2．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A．充要条件 C．充分不必要条件 答案 D
解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． 1?x
3．设p：??2?<1，q：log2x<0，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B
1?x解析 由??2?<1知x>0，所以p对应的集合为(0，＋∞)，由log2x<0知0 4．若集合A＝{x|x2－6x＋5<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B?A”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 A＝{x|1 ?a－1≥1，?∵B?A，∴?即2≤a≤4， ?a＋1≤5，? B．既不充分又不必要条件 D．必要不充分条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ∵(2,3)[2,4]，∴“a∈(2,3)”是“B?A”的充分不必要条件． 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． 充分、必要条件的应用 例1 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围． 解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P. 1－m≤1＋m，?? 则?1－m≥－2， ∴0≤m≤3.??1＋m≤10， ∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件， 即所求m的取值范围是[0,3]． 若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P 是x∈S的充要条件． 解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， ??1－m＝－2，∴?方程组无解， ?1＋m＝10，? 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． 思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 跟踪训练1 (1)已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为________． 答案 1 解析 q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1. ??a＝1，由p是q的充要条件知?∴a＝1. ?a＋1＝2，? x－1 (2)设p：|2x＋1| 2x－1__________． 答案 (0,2] 解析 由|2x＋1| 222由 x－11 >0，得x<或x>1. 22x－1 ∵p是q的充分不必要条件， ∴ m－11 ≤，∴0 充要条件的探求 例2 已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件． 解 因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程， 所以m≠0. 又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根， ??Δ1＝16?1－m?≥0，所以? ?Δ2＝16m2－4?4m2－4m－5?≥0，? 5 －，1?. 解得m∈??4?因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数， ?? 所以?4m∈Z， ??4m－4m－5∈Z. 2 4 ∈Z，m 所以m为4的约数． 5 －，1?， 又因为m∈??4?所以m＝－1或1. 当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数； 而当m＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1. 思维升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．
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