点到直线的距离公式的七种推导方法-2

点到直线的距离公式的七种推-2

导方法点到直线的距离公式的七种推导方法 已知点Pgy。）直线l

：

Ax ? By 60（A=0,B=0）求点p到直线|的

距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）

定义法

证：根据定义，点P到直线I的距离是点P到直线I的垂线段 的长，如图1，

设点P到直线I的垂线为|'，垂足为Q,

由「―I可知

y

.I'

的方程:

-

yo

「

（

X

-

Xo

）与I联立方程组

2

2

Q( B Xo _ AByo _ AC A y° _ ABx° _ BC、2 解得交点222

A B A B

2

2

2

_ /

2 2

B x

o 2

2o - AC - ABA B y

、2 . /

(

yA

o

- ABXo - BC

-o

2

z

z z

y)2

A Xo - ABy22o - AC 2

A B

2

2

)

_ A (Axo Byo C) . B (Ax。By。C) _ (Ax。By。C) — 2 2 2 —

(A B ) 2 2 2

(A B )

| Axo +Byo +C I

'

2

/By。- ABx° - BC 2 22

A B

2

)

函数法

P到直 证：点P到直线I上任意一点的距离的最小值就是点

线I的距离。在I上取任意点Q（x，y）用两点的距离公式有，为了

利用条件Ax By ^上式变形一下，配凑系数处理得：

o

（A B）[（x—x。） （y — y。）]

= A（x—x。） B（y — y。） A（y—y。） B（x — x。） = [A（x-x。）B（y-y。）] [A（y-y。）B（x-x。）]

_[ A（x -x。）B（y - y。）] = （Ax。Byo C）（： Ax By C = O） （x-x。） （y-yo）」

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

Axo

*

2

2

C|

JA +B

当且仅当 A（y — yo） = B （x — x°） 时取等号所以最小值就是

=

| Ax。Byo C | d

A B

2

2

三、不 等式法

证: 点P到直线I上任意一点

直线I的距离

Qx, y)的距离的最小值就是点 P

O 由柯西不等式：

（y-y。）] — [A（x -xo） B（ y - y。）] =

2

2

（A B）[（x-x。）

2

（Ax。By。C） V Ax By C =0,.

222

当且仅当

Ayy

(

-

o

) =B (x-xo)时取等号所以最小值就是