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(江苏专用)2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第63
练 双曲线练习 理
训练目标 (1)理解双曲线定义并会灵活应用;(2)会求双曲线标准方程;(3)理解双曲线的几何性质并能利用几何性质解决有关问题. 训练题型 (1)求双曲线的标准方程;(2)求离心率;(3)求渐近线方程;(4)几何性质的综合应用. 解题策略 (1)熟记相关公式;(2)要善于利用几何图形,数形结合解决离心率范围问题、渐近线夹角问题. 1.(2016·泰州一模)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y=1的实轴长为________.
23
2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是
2________________.
x22
x2y2
3.(2016·南京模拟)设P是双曲线2-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2ya9
=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若PF1=3,则PF2=________.
4.(2016·江南十校联考)已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,
24
x2y2
F1,F2分别是C的左,右焦点,若PF1·PF2=0,则点P到x轴的距离为________. y2x2
5.已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与
ab双曲线渐近线的一个交点为(4,3),则此双曲线的方程为________________.
6.(2016·杭州第一次质检)设双曲线-=1的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l43交双曲线左支于A,B两点,则BF2+AF2的最小值为________.
→→
x2y2
x2y2
7.设F1,F2是双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若PF1+PF2
ab=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为________.
8.(2016·苏、常、锡、镇联考)已知圆O1:(x+5)+y=1,圆O2:x+y-10x+9=0都内切于动圆,则动圆圆心的轨迹方程是____________________________.
9.(2016·南通一模)已知双曲线x-=1的左,右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上且
2
2
2
2
2
2
y2
MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离d=________.
→→
1
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x2y2
10.过双曲线2-2=1(b>a>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条
ab渐近线的交点分别为B,C,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为________.
x2y2b2+1
11.双曲线2-2=1(a>0,b>0)的离心率是2,则的最小值是________.
ab3a12.(2016·安徽江南十校联考)以椭圆+=1的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线C,其
95左,右焦点分别是F1,F2,已知点M的坐标为(2,1),双曲线C上的点P(x0,y0)(x0>0,y0>0)满足
x2y2
PF1·MF1F2F1·MF1
|PF1|→
=
|F2F1|
2
→→→→
→
,则S△PMF1-S△PMF2=________.
2
13.(2016·扬州二模)圆x+y=4与y轴交于点A,B,以A,B为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左边的交点分别为C,D,当梯形ABCD的周长最大时,此双曲线的方程为________________.
5+1xy14.(2016·淮北一模)称离心率为e=的双曲线2-2=1(a>0,b>0)为黄金双曲线,
2ab2
2
x2y222
如图是双曲线2-2=1(a>0,b>0,c=a+b)的图象,给出以下几个说法:
ab
①双曲线x-
2
2
2y2
=1是黄金双曲线; 5+1
②若b=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
③若F1,F2为左,右焦点,A1,A2为左,右顶点,B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④若MN经过右焦点F2,且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为________.
2
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答案精析
1.22 -=1
5-=1 16
解析 由题意可知c=3+4=5, ∴a+b=c=25,①
2
2
2
2
2
y2
x2
aa3
又点(4,3)在y=x上,故=,②
bb4
由①②解得a=3,b=4, ∴双曲线的方程为-=1. 9166.11
解析 由双曲线定义可得AF2-AF1=2a=4,BF2-BF1=2a=4,两式相加可得AF2+BF2=AB2b+8,由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦,而ABmin==3,故AF2+BF2=AB+
2
y2x2
a8≥3+8=11.
解析 不妨设点P在双曲线C的右支上,由双曲线定义知PF1-PF2=2a, 又因为PF1+PF2=6a, 所以PF1=4a,PF2=2a,
因为PF1>PF2,所以∠PF1F2为最小内角,因此∠PF1F2=30°,
在△PF1F2中,由余弦定理可知,PF2=PF1+F1F2-2PF1·F1F2·cos 30°, 即4a=16a+4c-83ac,
所以c-23ac+3a=0,两边同除以a,得e-23e+3=0,解得e=3. 3
-=1(x≥) 9124
解析 圆O2:x+y-10x+9=0, 即为(x-5)+y=16,
所以圆O2的圆心为O2(5,0),半径r2=4,
而圆O1:(x+5)+y=1的圆心为O1(-5,0),半径r1=1,
设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,则r=O1M+1且r=O2M+4, 3
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y2
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