uuuvvur??n?AA1??3x?z?0v，∴?则?vuuu，取x?1，则m?1,?3,3.
??n?AD??3x?y?0??urrurrm?n11cos?m,n????urr∴，
7?77m?n43?1?设二面角B?AA1?D的平面角为?，则sin??1????，
7?7?2∴二面角B?AA1?D的正弦值为43. 7方法二：（1）证明：连接AB1交A1B于点Q，
因为四边形A1B1BA为平行四边形，所以Q为AB1中点， 又因为四边形ABCD为菱形，所以O为AC中点， ∴在VAB1C中，OQ∥B1C,且OQ=1B1C， 2∵OQ?平面A1BD，B1C?平面A1BD， ∴B1CP平面A1BD （2）略，同方法一. 【点睛】
本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.
21．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB?BC，AB//CD，AB?4，
BC?CD?2，PA?PD，点F、O分别为AD，BC的中点，且平面PAD?平面ABCD.
（1）求证：BC⊥平面POF. （2）若PF?3，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
25 5【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】
（1）首先可得PF?AD，再面面垂直的性质可得PF?平面ABCD，即可得到PF?BC，再由
OF?BC，即可得到线面垂直；
（2）过点O做平面ABCD的垂线OZ，以O为原点，分别以OF，OB，OZ为x，y，z轴建立空间直角坐标系O?xyz，利用空间向量法求出线面角； 【详解】
解：（1）∵PA?PD，点F为AD的中点，∴PF?AD，又∵平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD，PF?平面PAD，
∴PF?平面ABCD，又BC?平面ABCD，∴PF?BC， 又∵F，O分别为AD，BC的中点， ∴FO//AB，∴OF?BC，
又FO?平面POF，PF?平面POF，FOIPF?F， ∴BC⊥平面POF.
（2）过点O做平面ABCD的垂线OZ，以O为原点，分别以OF，OB，OZ为x，y，z轴建立空间直角坐标系O?xyz，∵PF?3，∴A(4,1,0)，B(0,1,0)，
C(0,?1,0)，P(3,0,3)，
uuuruuuruuur∴AP?(?1,?1,3)，BP?(3,?1,3)，CB?(0,2,0)，
r设平面PBC的法向量为n?(x,y,z)，
uuuvv?r?BP?n?0?3x?y?3z?0uuuv由?，得?，令z?3，得n?(?3,0,3)， v2y?0CB?n?0???ruuurruuurn?AP3?3325uuur??∴cosn,AP?r，
5|n|?|AP|23?5∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为【点睛】
本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法求线面角，属于中档题.
25. 5y2x2322．已知椭圆C2?2?1?a?0,b?0?的长轴长为4，离心率e?
ab2（1）求椭圆C的方程；
（2）设A,B分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点，P是椭圆C上在第一象限的一点，直线PA与
y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问?PMN与?PAB面积之差是否为定值？说明理由.
y2【答案】（1）?x2?1（2）是定值，详见解析
4【解析】 【分析】
?a?2?3?c3（1）根据长轴长为4，离心率e?，则有??求解.
a22?22?a?b?c2?（2）设P?x0,y0??x0?0,y0?0?，则4x0?y0?4，直线PA:y?22y0?x?1?，令x?0得，x0?1yM??y0y0?2?2x0PB:y?x?2x?，则BM?2?yM，直线，令y?0，得N，则AN?1?xN，
x2y0?2x0?1再根据S?PMN?S?PAB??S?MAN?S?PAN???S?BAN?S?PAN??S?MAN?S?BAN求解. 【详解】
?a?2?3?c（1）依题意得??，
a2?22?a?b?c2?解得??a?2，
?b?1y2则椭圆C的方程?x2?1.
4（2）设P?x0,y0??x0?0,y0?0?，则4x0?y0?4，
22直线PA:y?y0?x?1?， x0?1?y0， x0?1令x?0得，yM?则BM?2?yM?2?y0， x0?1直线PB:y?y0?2x?2， x2?2x0， y0?2令y?0，得xN?则AN?1?xN?1?2x0， y0?2?S?PMN?S?PAB??S?MAN?S?PAN???S?BAN?S?PAN??S?MAN?S?BAN
?y2x011AN?BM?2?01??2. 22x0?1y0?2【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.
23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1?6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与mm?2,m?N?*?个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个
球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.
?1?若m?4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
?2?若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得
的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值. 【答案】?1?【解析】 【分析】
3；?2?9. 5?1?设顾客获得三等奖为事件A，因为顾客掷得点数大于4的概率为
得三等奖的概率为
1，顾客掷得点数小于4，然后抽将34，求出P?A?； 15?2?由题意可知，随机变量X的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得
100200m2?2200m?1600E?X???，由题意可知，E?X??150，即
33?m?2??m?1?100200m2?2200m?1600??150，求出m的最小值. 33?m?2??m?1?【详解】
?1?设顾客获得三等奖为事件A，
因为顾客掷得点数大于4的概率为
1， 3
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