初一数学暑假专题 乘法公式与因式分解冀教版
一. 教学内容：
1. 灵活运用平方差、完全平方公式进行乘法运算。 2. 熟练掌握因式分解的方法，并能灵活运用． 3. 深刻体会乘法公式与因式分解之间的关系。
二. 知识要点：
1. 能用平方差公式计算的题目的特征
（1）公式特点：公式中左边为两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项仅差一个符号，右边是一个求差算式，谁减去谁是关键．
（2）如何确定公式中的a、b：在公式的左边，完全相同的一项是a，相差一个符号的为b，公式的右边是a2－b2． 2. 完全平方公式
（1）公式的意义：（a±b）2＝a2±2ab＋b2．也就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式．
（2）关于完全平方公式的一些常用变形形式： ①a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab；
11
②ab＝[（a＋b）2－（a2＋b2）]＝[（a＋b）2－（a－b）2]；
24③（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）； ④（a＋b）2－（a－b）2＝4ab．
掌握这些变形形式，可以使相关题目运算更简便． 3. 提公因式法分解因式
?系数：各项系数的最大公约数
（1）公因式的确定?字母：各项都含有的相同字母；
??指数：相同指数的最低次幂
（2）提公因式法分解因式的步骤：
第一步：找公因式，第二步：提出公因式，第三步：检查． 4. 运用公式法分解因式
（1）平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）．
左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积．
（2）完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2
左边是三项式，即完全平方式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．
右边是两个数（或两个式子）的和（或差）的平方。当中间的乘积项与首尾两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首尾两项符号相反时，是差的平方．
5. 整式乘法与因式分解的关系
整式乘法与因式分解是互逆的过程，整式乘法是把几个整式的积变为一个多项式，而因式分解是把多项式变为几个整式的积的形式。
?
互逆整式乘法 因式分解
三. 考点分析：
乘法公式与因式分解是以后学习分式、函数等许多数学知识的重要基础，在中考试卷中占有较大比重，常融入其他知识点综合考查，单独命题的题目多以填空、选择的形式出现．
【典型例题】
例1. 计算：（2x－3y）2（2x＋3y）2．
分析：此题可先运用完全平方公式变形为（4x2－12xy＋9y）（4x2＋12xy＋9y2），后用平
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方差公式化简，也可先逆用积的乘方和平方差公式变形为（4x2－9y2），后用完全平方公式．
解法一：
原式＝（4x2－12xy＋9y2）（4x2＋12xy＋9y2） ＝[（4x2＋9y2）－12xy][（4x2＋9y2）＋12xy] ＝16x4＋72x2y2＋81y4－144x2y2 ＝16x4－72x2y2＋81y4 解法二：
原式＝[（2x－3y）（2x＋3y）]2 ＝[（2x）2－（3y）2]2 ＝（4x2－9y2）2
＝16x4－72x2y2＋81y4
评析：比较两种解法，解法二更简洁，因为参与计算的项较少，计算量更小．
例2. 化简下列各式：
11（1）（a－b）（－b－a）；
33（2）（3a＋b－2）（3a－b＋2）； （3）（x－3）（x2＋9）（x＋3）； （4）59.8×60.2
11
分析：在（1）中，两个二项式的相同项为－b，相反项为a与－a，第（2）题中，相
33同项是3a，相反项为b与－b及－2与2，在第一个因式中把b与－2结合，第二个因式中，
把－b与2结合，原式可变为[3a＋（b－2）][3a－（b－2）]，显然可利用平方差公式计算；第（3）题，利用乘法交换律，先求出（x＋3）（x－3）的积，再把所得的积（x2－9）与（x2＋9）相乘；（4）中的59.8＝60－0.2,而60.2＝60＋0.2,所以，变形后可以利用平方差公式计算．
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解：（1）（a－b）（－b－a）
33
1
＝（－b）2－（a）2
3
1
＝b2－a2；
9
（2）（3a＋b－2）（3a－b＋2） ＝[3a＋（b－2）][3a－（b－2）] ＝（3a）2－（b－2）2 ＝9a2－（b2－4b＋4） ＝9a2－b2＋4b－4； （3）（x－3）（x2＋9）（x＋3） ＝[（x＋3）（x－3）]（x2＋9） ＝（x2－9）（x2＋9）
＝x4－81；
（4）59.8×60.2 ＝（60－0.2）（60＋0.2） ＝602－0.22 ＝3600－0.04 ＝3599.96．
评析：①应用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的a，哪一项是公式中的b．②在两个二项式中，相同项是公式中的a，相反项的绝对值是公式中的b，乘积是a2－b2，即相同项的平方减去相反项的平方．
1
例3. 分解因式：（1）－a＋2a2－a3；（2）2x2＋2x＋；（3）y2－9（x＋y）2；（4）a4－8a2b2
2＋16b4．
错解：（1）原式＝2a2－a－a3＝－a（2a＋1＋a2）＝－a（a＋1）2； （2）原式＝2（x2＋2x＋1）＝2（x＋1）2； （3）原式＝（y－3x－3y）2－（－2y－3x）2； （4）原式＝（a2－4b2）2． 错因分析：（1）加法交换律，将负号转化一下，结果在提负号时忘了改变一次项的符号；（2）提公因式时，应该用“公因式去除多项式的每一项”，此题括号中的第二项漏除，第三项却又相乘；（3）将平方差公式和完全平方公式混淆，用错了公式；（4）分解因式不彻底：a2－4b2还能分解．
正解：（1）原式＝－a（1－2a＋a2）＝－a（1－a）2；
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（2）原式＝2（x2＋x＋）＝2（x＋）2；
42（3）原式＝（y＋3x＋3y）（y－3x－3y）＝（4y＋3x）（－3x－2y）＝－（3x＋4y）（3x
＋2y）；
（4）原式＝（a2－4b2）2＝[（a＋2b）（a－2b）]2＝（a＋2b）2（a－2b）2． 评析：用公式法分解因式时应注意：①步骤为“先提后套”，有公因式时先提公因式，后套用公式．②提公因式时，注意系数与符号。
例4. 已知（a＋b）2＝11,（a－b）2＝7,求ab的值． 分析：由完全平方公式知：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 ①；（a－b）2＝a2－2ab＋b2 ②．将①－②得到一个含有（a＋b）2、（a－b）2、ab的等式．
解：因为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 ①； （a－b）2＝a2－2ab＋b2 ②．
①－②得（a＋b）2－（a－b）2＝4ab，
（a＋b）2－（a－b）211－7
所以ab＝＝＝1．
44
评析：利用a2＋b2，（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的转化关系，整体代入求值．
例5. 若△ABC的边长是a、b、c且满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，试判断此三角形的形
状．
分析：由a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac可以猜想a＝b＝c一定成立，左边a2、b2、c2均为平方项，右边ab，bc、ac为三个乘积项，而没有系数2,可以在两边同乘以2,试着配出完全平方式，2ab、2bc、2ac均需要两个平方项，右边乘以2后，a2、b2、c2各两个恰好能构成三个
完全平方式．
解：因为a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac 所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac 所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0
所以（a2＋b2－2ab）＋（b2＋c2－2bc）＋（a2＋c2－2ac）＝0 所以（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2＝0
又因为（a－b）2≥0,（b－c）2≥0,（a－c）2≥0 所以（a－b）2＝0,（b－c）2＝0,（a－c）2＝0 所以a＝b＝c，三角形a、b、c为等边三角形．
评析：大胆猜想，三边相等，巧妙构造两边乘以2,实现目标：变成三个完全平方式．
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例6. 求值：（1－2）（1－2）（1－2）??（1－2）（1－2）．
234910
分析：直接计算较复杂，并且括号里的每两项正好是平方相减形式，这不难想到先用平
方差公式，再将所求代数式化简，再求值。
111111
解：原式＝（1－）（1＋）·（1－）（1＋）·?·（1－）（1＋）
22331010
132435911＝······?·· 2233441010111＝× 21011＝ 20
【方法总结】
1. 把握公式的特点，公式中的a与b可表示具体的数，也可表示单项式或多项式． 2. 运用乘法公式时，要灵活处理符号，使运算准确简便．如：（－x＋2y）（－x－2y）．可以把－x看成公式中的a，2y看成公式中的b；也可先进行符号运算，（－x＋2y）（－x－2y）＝[－（x－2y）][－（x＋2y）]＝（x－2y）（x＋2y）．
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
一. 选择题
1. 下列式子中是完全平方式的是（ ） A. a2＋ab＋b2 B. a2＋2a＋2 C. a2－2b＋b2 2. 已知x＋y＝－5，xy＝6，则x2＋y2的值是（ ） A. 1 B. 13 C. 17
3. 若a＋b＝3，则2a2＋4ab＋2b2－6的值为（ ） A. 12
B. 6
C. 3
二. 填空题
1. 分解因式：x3y－4xy＝__________． 2. 分解因式xy－x－y＋1＝__________．
1
3. 当s＝t＋时，代数式s2－2st＋t2的值为__________．
2
4. 当x＝3，y＝1时，代数式（x＋y）（x－y）＋y2的值是__________． 5. 若a2＋a＝0，则2a2＋2a＋2007的值为__________．
6. 如果x＋y＝－4，x－y＝8，那么代数式x2－y2的值是__________．
D. a2＋2a＋1 D. 25 D. 0
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