高考文科数学中的内切球和外接球问题 - 专题练习

4?0BC=4?BOC=603求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5）

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

三.多面体几何性质法

例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.16? B.20? C.24? D.32?

2解 设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x?16，解得x?2.

2222R?2?2?4?26,　 　?R?6.∴这个球的表面积是4?R2?24?.选C. ∴

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法

例4 正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点DASCO1BS、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 .

解 设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1?平面ABCD.

又SO1?平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上.

图3∴?ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在?ASC中，由SA?SC?2，AC?2，得SA2?SC2?AC2.

∴?ASC是以AC为斜边的Rt?.

AC4??1V球?3. ∴2是外接圆的半径，也是外接球的半径.故

小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截

面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

五 .确定球心位置法

例5 在矩形ABCD中，AB?4,BC?3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角

B?AC?D，则四面体ABCD的外接球的体积为

125125125125

????A.12 B.9 C.6 D.3

解 设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知

ADCBO图4OA?OB?OC?OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的

距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径

R?OA?52.故

4125V球??R3??36.选C.

出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球上，

,求球解：因为所以在在

取斜边的中点在在

中中且

，

，

的球面

，

的体积。 且

， 所以知 所以可得图形为： 中斜边为中斜边为，

，

，

,

所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心

所以该外接球的体积为

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

1. （陕西?）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A．2.

33333 B． C． D． 43412直三棱柱

ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的表面积等于 。

3．正三棱柱ABC?A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为?，则正三棱 柱的体积为 ．

4.表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．12222? B．? C．? D．?

333332?，那么正方体的棱长等于（ ） 35.已知正方体外接球的体积是

A.22 B.

234243 C. D. 3336.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )

A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9 7.（2008海南、宁夏）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为底面周长为3，则这个球的体积为 ．

8. （2007天津）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．

9.（2007全国Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.

9，810.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P?ABCDEF，则此正六棱 锥的侧面积是________．

P

C D

B E A F

11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形(正四面体的截面)的面积是 .

12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ） A．3? B．2?

C．

16? 3D．以上都不对

23

13.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）

3

A．? B．2π C．4π 答案C

1、答案 B

2、解:在?ABC中AB?AC?2,?BAC?120?,可得BC?23,由正弦定理,可得?ABC 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O?，球心为O，在RT?OBO?中，易得球半径R?5，故此球的表面积为4?R?20?.

283D．?

433、答案 8

3a24、答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8??234知，a?1，则此球的直径为2，故选A。 5、答案 D 6、答案 C 7.答案

4?8. 答案 14π 9.答案 2?42 3

10.答案 67 11.答案 2 12. 答案C 13.答案C