第四届“希望杯”全国数学邀请赛 第2试

希望杯第四届初中二年级第二试试题

一、 选择题:（每题1分，共10分） 1.若a<0,则化简a2?(1?a)2得[ ] A．1 B．?1 C．2a?1

D．1?2a

2.若一个数的平方是5-26,则这个数的立方是[ ]

A.93?112或112?93; B.93?112 或112?93; C.93?112 或112?93; D.93?112 或?112?93. 3.在四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=3,DA=2,SΔABD=1, SΔBCD=∠ABC+∠CDA等于[ ]

A．150° B．180°.C．200° D．210°．

4．一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周长为 [ ] A.7

2

6,则 211; B.8; C.9; D.10. 225．如果实数x，y满足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy，那么x+y的值是 [ ] A.1. B．0. C．1 .D．2． 6.设x=n?1?nn?1?n22

,y=,n为正整数,如果2x+197xy+2y=1993

n?1?nn?1?nB．8. C．9. D.10

成立,那么n的值为[ ] A．7.

7．如图81，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD的长是 [ ]

A．0.5厘米. B．1厘米. C．1.5厘米. D．2厘米 8．方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 [ ] A．?2 . B．0. C．-2 . D．4．

9．如图82，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B＇，C＇，A＇， 且使BB＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．若S△ABC=1，那么S△A＇B＇C＇是 [ ] A．15. B．16. C．17. D．18.

10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 [ ] A．a＞3. B.a≥3. C．a＜3. D．a≤3.

二、填空题（每题1分，共10分）

1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是______．

22x?x222．设x1，x2是方程x+px+1993=0的两个负整数根,则1=_______.

x1x2 3.方程x?1?1?x?1?1?1的解是____________. x?14．如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点， 如果S△ABD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______． 5．设二次方程ax+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2,

S2=x12+1993x22,┉┉,Sn=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=__________. 6．设[x]表示不大于x的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么[1900]+[1901]+[1902]+┉+[1992]+[1993]=_________. 7．已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且a＞b，那么两根之和超过3的方程是______．

8．如图84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______．

9．已知k为整数，且关于x的方程(k-1)x-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根，则k=______．

10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有______人．

三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）

1． 如图85，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条角平分线的交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由．

2

2

2

2.如果a=

122?112

?2,求a+a4?a?1的值. 88

答案与提示

一、选择题

提示：

5．等式2x+x+xy+2=-2xy化简为(x+1)+(xy+1)=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．

6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．

7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)． 8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3． ∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．

9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．

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