n?11??11limdn?lim?ln2?b2n?b2n??ln2.即?1???????1??ln2. ?n??n??23n??(2) lim1?11?11?????lim?bn?lnn??1,lnbn?r ??n??n??lnnn?lnn?23.14 利用归纳法
例： 若limxn?a?limx2k?1?limx2k?a,则求极限limxn
n??k??k??n??1) 设x1?2,xn?1?1(n?1,2,?) 2?xn2) 设x1?a,x2?b,xn?2?3) x1?c?0,xn?1?c?1?xn?xn?1?,(n?1,2,?). 21(n?1,2,?) xn1)证:首先x2?x4?x3?x1,若假设x2k?x2k?2?x2k?1?x2k?1(k?1,2,?),则
x2?2k?1??1?111??x2k?2, x2?2k?1??1??x2k?2 即x2k?2?x2?2k?1??1?x2k?1同理有
2?x2k?22?x2k2?x2k?1x2k?2?x2?2k?1??2?x2?2k?1??1,.于是?x2k?1?单调减有界,而单调?x2k?增有界,二者均收敛,设,
1?a???2?blimx2k?1?a,limx2k?b.则由递推公式可得?.解得a?b??1?2.负值不合题意舍去,
k??k??1?b??2?a?最后得limxn?2?1.
n??2)不妨设a?b, 则x1?x3?x4?x2.若假设x2k?1?x2k,便有x2k?1?x2k?1?x2k?2?x2k(k?1,2,?).因此?x2k?1?单调增有界, ?x2k?单调减有界均收敛,
??1?b?a1x?x??x?x???加上递推关系,从而可得?xn?收敛.由于n?2n?1?n?1n???,所以
22nxn?2?1????xk?1?xk??x1?a??b?a?????2?k?1k?1?n?1n?1k?1n,limxn?limxn?2?a?n??n??2?b?a?. 33) 因为c?0,所以?xn?是正数数列,且有x1?x3?x4?x2,假设x2k?1?x2k?1?x2k?2?x2k(k?1,2,?),
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则x2?k?2??x2?k?1??1x2k?3?1x2k?1?c?11x2k?2?11c?x2k?0?x2k?. 故单调减有界..同理?x2k?单调增
c?c2?4有界.二者均收敛,由递推关系可得?xn?收敛.且有limxn?.
n??2 3.15 定义求极限 例：设a?R,a?1.求lim解: n?2时,有
n n??annnnnn???? (由二项展开式得) 要nnn22an(n?1)(a?1)(n?1)(a?1)a??1?(a?1)??使
na222??n??1N??2,则当n?N时,就有,只需,即若取222(n?1)(a?1)?(a?1)?(a?1)?nn?n???lim?0.所以数列?n?,a?1,a?R是无穷小数列. n2n??(n?1)(a?1)?a?an参考文献：
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Because of limit importance, thus how does the limit concept nature as well as ask the limit also appears especially important Regarding some complex limits, defers to the limit the definition to ask appears directly limits, not only the computation load is big, moreover not necessarily can extract the result. In order to solve asks the limit the question, this article also introduced the limit concept nature and computation limit several methods, and by the example explained in the method contains mathematics thought..
Key words: function, sequence, limit
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河北师范大学本科生毕业论文（设计）评议书
姓 刘波 名 论 文 题 目 学院 数信学院 专业 数学与应用数学 年级（班） 完成时间 06专接本 2008.4.24 极限的定义性以及求极限的若干方法 极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而极限的 概念性质以及怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题， 本文也介绍了极限的概念性质及计算极限的几种方法，且以实例来说明方法中蕴涵的数学思想. 求极限的方法很多，已经学过的主要有以下几种：极限的四则论 文 内 容 摘 要 运算法则.利用两个重要极限.利用极限存在的两个准则.利用“有界函数与无穷小乘积仍为无穷小”.利用等价无穷小代换利用变量代换 指 导 教 师 评 语 年 月 日 指 导 教 师
黄益昌 职称 副教授 初评成绩 39
姓名 组长 成员 职称 教研室 答辩小组答辩记录： 记录人签字： 年 月 日 答辩小组意见： 组长签字： 年 月 日 学院意见： 评定成绩： 签章 年 月 日
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