专题限时集训(二) 排列、组合与二项式定理概率与统计
1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
23C [C16C5C3＝60.]
2．(2020·全国卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
B [由题意知，第二天在没有志愿者帮忙的情况下，积压订单超过500＋(1 600—1 200)＝900份的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，900
至少需要志愿者＝18(名)，故选B．]
50
3．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
2×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝A [3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C3
23
3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C2] 3×0.6×(1－0.6)＋0.6＝0.648.故选A．
4．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
D [由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式
2·1C2·1为C1C4A23·2＝36(种)，或列式为C3·4C2＝36(种)．
故选D．]
5．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( ) A．12 B．16 C．20 D．24
3＋A [展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C4
2C14＝4＋8＝12.]
6．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A．10 B．20 C．30 D．60
C [法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
23y2. 含y2的项为T3＝C25(x＋x)·
4x＝C1x5. 其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x·31所以x5y2的系数为C25C3＝30.故选C．
法二：利用组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2
21
的系数为C25C3C1＝30.故选C．]
7．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
A [记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f ，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A．]
8．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且∑pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) i＝1
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
B [对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为
X1 P 1 0.1 2 0.4 3 0.4 4 0.1 4
E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以D?X1?＝0.65.
对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为
X2 P 1 0.4 2 0.1 3 0.1 4 0.4 E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以D?X2?＝1.85.
对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为
X3 P 1 0.2 2 0.3 3 0.3 4 0.2 E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以D?X3?＝1.05.
对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为
X4 P 1 0.3 2 0.2 3 0.2 4 0.3 E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以D?X4?＝1.45.所以B中的标准差最大．]
9．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
1111A． B． C． D．
12141518
C [不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以31
所求概率P＝2＝，故选C．]
C1015
10．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62% B．56% C．46% D．42%
C [不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%
＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.选C．]
11．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( ) A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
A [法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．
法二：因为0.6＜0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A．]
12．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 A [对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错； 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确； 对于选项C，D，由图可知显然正确． 故选A．]
13．(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 D [依据给出的柱形图，逐项验证．
对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D．]
14．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
C [由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，
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