崇州市街子镇学校八年级（下）学案
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§4.1 因式分解
【学习目标】1.了解因式分解的概念和意义；
2.了解因式分解与整式乘法的关系。
【学习重点】 因式分解的概念。
【学习难点】 理解因式分解与整式乘法的互逆关系。 【学习过程】 一、知识回顾：
1 5x(6y-2) =_______________； ○2（2a+b）(a-2b)____________。 1、计算：○
2. 用简便方法计算： 1○
例题：如果2x+ax－2可因式分解成（2x+1）（x－2），则a的值是（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．－321教育网 活动二、拓展提高：
例题1.（1）99-99能被100整除吗？说明理由！（2）1999+1999能被1999整除吗？说明理由！
三、课堂检测：
3
2
777?13??6??2= ○2-2.67×132+25×2.67+7×2.67= ； 9993992–1= ． ○
二、新课学习： 活动一、知识探索： 1、因式分解的定义：
一般地，把一个___________转化成几个_______的______的形式，叫做____________．有时，我们也把这一过程叫做 。21cnjy.com
例如：⑴a?b=(a?b)(a?b) ⑵a?2ab?b=(a?b)
2222⑶ a?2ab?b=(a?b) ⑷3a?5ab=a(3a?5b)
3221、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）。
A．a（a－b）＝a2－ab ； B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1 ； C．x2－x＝x（x－1） ； D．x2－
111＝（x＋）（x－）
yyy?y2222、下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab; ( )（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）; ( ) （3）a2－4=（a+2）（a－2）; ( )（4）x2－3x+2=x（x－3）+2. ( ) 3、若分解因式x2?mx?15?(x?3)(x?n)，求m的值。
4、能力提高：已知x-y=2010，xy?
5. 当m为何值时，y?3y?m有一个因式为y-4？
2⑸a?a=a(a-1)=a(a?1)(a?1)
（1）定义解析：（1）等式左边必须是
（2）分解因式的结果必须是以 的形式表示； （3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。
（2）定义应用：判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？
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2011,求x2y?xy2的值 2010(1) x2?4y2??x?2y?(x?2y) （ ） (2) 2x(x-3y)=2x2?6xy （ ）
2(3) (5a-1)2=25a2-10a+1 （ ） (4) x2+4x+4=?x?2? ( )
2、因式分解与整式乘法的关系： 比如：
说明：（1）从右往左是积化和差，其特点是：由整式的积的形式化为和差的形式（多项式）；
（2）从左往右是_____________，其特点是：由______的形式（多项式）_______为整式的_______
的形式；21·cn·jy·com
（3）因式分解与整式乘法的相互关系是_____________，它们是互逆过程。
【学习反思】 编制：崇州市街子镇学校八年级数学集备组 2015-1温馨提示：美丽与健康携手，文明与安全同行，珍爱生命，重视安全！
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§4.2 提公因式法（1）
【学习目标】1. 了解公因式的意义，并能准确的确定一个多项式各项的公因式； 2. 掌握因式分解的概念，
【学习重点】会用提公因式法把多项式分解因式. 【学习难点】用提公因式法把多项式分解因式. 一、知识回顾：
1、下列从左到右的变形是否是因式分解的是_____________________（填序号）。
（1）2x2+4=2（x2+2） （2）t（2t2－3t+1）= （2t3－3t2+t）； （3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my；
22（5）x2－2xy+y2=．（6）a-25=（a+5）（a-5） （x-y）2、添括号，把首项系数变为正数。
（1）?xy?xy?—（ ） （2）?27xy?9xy?18xy?—（ ） （3）?an2222b?an?1b2?an?2b?—（ ）
二、新课学习：
活动一、知识探索（自主学习）（预习教材P95-P6）： 1、公因式的定义：
一个多项式各项都含有 ____________因式，叫做这个多项式各项的___________ 2、公因式的构成特点：
公因式是各项系数的________________与各项都含有的字母的__________的积。 3、提公因式法分解因式：
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个__________提出来，从而将这个多项式化成两个因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做______________ 活动二、知识应用（组内交流）： 1.找出下列多项式的公因式。
（1）2x+6x _____ (2) ax+ay+a ____ (3) 3mx-6mx _____
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注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。在
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 3.用提公因式法分解因式：
(1).-2an-1-4an+1 (2).7xm+3+xm+1+4xm
活动三、知识归纳：
本节课学了什么内容？常见考点有哪些？
三、课堂检测：
1.下列多项式，能用提公因式法分解因式的是（ ） A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2 2.下列分解因式正确的是（ ）
A.2x2-xy-x=2x(x-y-1) B.-xy2+2xy-3y=-y(xy-2x+3) C.2xy-x2y+x=x(2y-xy) D.x2-2x+1=x(x-2)+1 3.20132-2013不能被下列（ ）整除。
A.2013 B.2012 C.2011 D.1006 4.用提公因式法分解因式：
(1).12x2y-18xy2-24x3y3 (2).5x2-15x+5 (3).-27a2b+9ab2-18ab
5.用简便方法计算：
(1)7.6×201.2+4.3×201.2-1.9×201.2 (2)10-5×10
6.(1)已知ab=7，a+b=6,求多项式a2b+ab2的值。 (2)已知4x2+7x+2=4，求-12x2-21x的值。
【学习反思】 11
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(4)4a+10ah ______ (5)x2y + xy2 ____ (5)3x2y+12xyz-9x2y2_____
2.把下列各式因式分解：
(1)3x+x3 （2）7x3-21x2 (3)8a3b2-12ab3c+ab (4)-24x3+12x2-28x
2编制：崇州市街子镇学校八年级数学集备组 2015-1温馨提示：美丽与健康携手，文明与安全同行，珍爱生命，重视安全！
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§4.2 提公因式法（2）
【学习目标】1. 进一步理解公因式的意义，当公因式为多项式时，能准确的确定这一公因式； 2. 体会整体思想的应用。
【学习重点】用提公因式法把多项式分解因式.
【学习难点】因式分解在求代数式的值一类考题中的应用。 【学习过程】 一、知识回顾：
1.怎么确定一个多项式的公因式？如何用提公因式法分解因式？ 2.在利用提公因式法分解因式时容易出错的地方有哪些？
3.多项式3xy+12xyz-9xy的公因式是_______；2xy-xy+x因式分解的结果是____________。
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(2) 已知方程
活动五、知识归纳：
组，不解方程组求7y（x-3y） -2（3y-x）的值．
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1.本节学习的基础知识是当一个式子的公因式是______时的因式分解方法。当多项式的各项出现“多项式”因式时，应先统一_______的顺序。 2.提取公因式后，要注意结果的检查：
(1)结果中，________因式应放在_________因式的前面。（2）要把每个因式分解到不能再分解为止。 (3)若分解结果出现相同因式，要写成幂的形式。 三、课堂检测：
1. 在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
2
22二、新课学习：
活动一、知识准备（自主学习）：
1.请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：
(1) 2-x=____（x-2） (2) y-x=____(x-y) (3) b+a=___（a+b）(4) –m-n=____（m+n）
22 3344 55
(4)（b-a）=___（a-b） (5)( b-a)=____(a-b) (4)（b-a）=___（a-b） (5)( b-a)=____(a-b) 2.一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“+”或“-”号）。
nnnn
(y-x)=_____（x-y） (n为偶数)； (y-x)=_____（x-y） (n为奇数) 活动二、合作交流：
1.下列各式有公因式吗？如果有,请你指出来。如果没有，是否可以通过我们“活动一”的相关变形得到公因式？
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(1). 3m(x-y)-n(x-y) (2). 5m(a-b)-n(a-b)(3). 2x(x-y)+3y(y-x)
2422322
(4). 6（x-y）+18(y-x) (5).xy(x-y)-2xy(y-x) （6）2（x-y）+4(x+y)归纳：公因式既可能是______式，又可能是________。 2.例题阅读P97,例2，例3.（组内难点探讨）。 活动三、自主尝试： 1.将下列各式因式分解：
2
(1). x(a+b)+y(a+b) (2). 3a(x-y)-(x-y) (3). 6(p+q)-12(q+p)
(4). a(m-2)+b(2-m)
（1）3+a = （a+3） （2）1–x = （x–1） （3）（m–n）2 = （n–m）2 （4）–m2+2n2 = （m2–2n2）
2.．把（x－y）－（y－x）分解因式为（ ）
2
A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1） C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）
3．观察下列各式: ①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和 －a－b，④x2－y2和x2+y2。其中有公因式的是（ ） A．①② B.②③ C．③④ D．①④
4.(2013新疆)6x(x-y)-8（y-x）的公因式是（ ） A.6(x-y)
3
2
3
B.8(y-x)
2
C.2(x-y)
2
D. (x-y)
2
5.将下列各式因式分解：
（1）6（p+q）2–12（q+p） （2）2a（m–2）-4b（2–m）
?2m?n?3,?23
6. 不解方程组?4m?3n?1求5n(2m-n)-2（n-2m）的值。
【学习反思】 活动四、能力提升：将下面整式分解因式：
232 223
(1). 2(y-x)+3(x-y) (2). 18(a-b)-12b(b-a)（3）mn(m-n)-2mn(n-m)
注：一个整式在提公因式后，剩下的另一个因式要进行整理，合并，结果一般不再带有中括号，整理后如果还有公因式应继续提公因式，直到不能再分解为止。
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§4.3 公式法（1）
【学习目标】1.了解运用公式法分解因式的意义，会用平方差公式进行因式分解． 2.懂得提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解. 【学习重点】会用平方差公式进行因式分解.
【学习难点】平方差公式中的字母a、b表示一个多项式时利用平方差公式进行因式分解. 【学习过程】 一、知识回顾：
1. (y-x)n=_____（x-y）n (n为偶数)； (y-x)n=_____（x-y）n (n为奇数) 2.用提公因式法分解因式：-2(y-x)2+3(x-y)=________________________。 二、新课学习：
活动一、利用平方差公式进行因式分解方法探索（自主学习）：
(1) m2－81 ；(2) 4m2+9 ； （3）－x2－25y2 ；（4）－x2+16 ； 活动三、基础知识应用： 1.把下列各式因式分解： （1）16–9x2 （2）25a2–
活动四、能力提升：尝试将下面的多项式分解因式，由此你发现了什么结论？ （1）3a3–12a (2) - 2x2+50
结论：______________________________________________________________________________。
12（3）9（x–y）2–（x+y）2 b4
1、平方差公式用字母表示:（a+b）（a–b）= . 2、利用平方差公式计算：
（1）（x+5）（x–5） = ；（2）（3x+y）（3x–y）= ； （3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
思考：你能用提公因式法将下面的多项式因式分解吗？如果不能，你能运用上面的平方差公式将它们写成两个因式乘积的形式吗？
____________; x?25?__________9x2?y2?_____________________; 229m?4n?____________________.
结论：事实上，把乘法公式（a+b）（a–b）=a2–b2反过来，就得到 = 即：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法，这种分解因式的方法称为运用公式法。 活动二、公式a22活动五、知识归纳（自主完成）。 三、课堂检测：
1．判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) ( ) （2）x2–y2=（x+y）(x–y) ( ) （3）–x2+y2=–（x+y）(x–y) ( ) （4）–x2–y2=–（x+y）(x–y) ( ) 2．把下列各式因式分解：
9 ? (1 ) ? 4 x 2 (2 ) 9 ( m ? n ) 2 ? ( m ? n ) 2 (3) p4–1
3．分解因式：2x?
4.已知a,b,c为△ABC的三边，且满足ac?bc?a?b，试判断△ABC的形状。
【学习反思】 ２
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212y2
?b2?(a?b)(a?b)的特征分析（组内合作交流）：
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
被分解的多项式含有的项数是 ，它们的符号是 ，同时系数______，指数要______，即能写成（ ）－（ ）的形式。 (2)公式右边:（是分解因式的结果）
分解的结果是两个底数的 乘以两个底数的 的形式。
思考：下列多项式能转化成（ ）－（ ）的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）－（ ）的形式。
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