3.4基本不等式ab?教学目标
a?b (1) 2知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 教学重点 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?明过程；
教学难点 基本不等式ab?授课类型 新授课 课时安排 1
教学方法 讲练结合法 教学用具 投影仪 教学过程 课题导入 基本不等式ab?a?b的证2a?b等号成立条件 2a?b的几何背景： 2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2?b2。这样，4个直角三角形的面积
1
的和是2ab，正方形的面积为a?b。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a?b?2ab。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
2222a2?b2?2ab。
2．得到结论：一般的，如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 a2?b2?2ab?(a?b)2 当a?b时,(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0,
所以，(a?b)2?0，即(a2?b2)?2ab. 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab?a?b 2特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得a?b?2ab，
a?b(a>0,b>0) 2a?b 2）从不等式的性质推导基本不等式ab?
2通常我们把上式写作：ab?用分析法证明：
要证
a?b?ab (1) 2只要证 a+b? (2) 要证（2），只要证 a+b- ?0 （3） 要证（3），只要证 （ - ） （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式ab?2a?b的几何意义 2探究：课本第98页的“探究”
2
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab?易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为
2
a?b的几何解释吗？ 2a?b，显然，它大于或等于CD，即2a?b?ab，其中当且仅当点C与圆心重合， 2即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab?评述： 1.如果把
a?b几何意义是“半径不小于半弦” 2a?b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该2a?b为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定2定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称
理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识应用：
例（1）把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的积最大？
小结：三个条件：一正二定三取
设a?0,b?0,由a?b?2ab
（1）如积ab?P(定值），则积a?b有最小值2P，此时a=b （2）如积a?b?S(定值），则积ab有最大值（
3
S2）此时a=b 2练习：1)若x>0, 当x取什么值时，f(x)?x?2) 若x>0,当x取什么值时，f(x)?1?x?3) 若x>1,当x取什么值时，f(x)?x?2
9有最__值, 最__值是______. x9有最__值, 最__值是______. x1有最__值, 最__值是______. x?12
总结：本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（
a?b），2a?b≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求2a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解
a?b2a2?b2决问题：ab≤，ab≤（）.求最值
22作业 目标p31
板书设计 3.4基本不等式ab?重要不等式a＋b≥2ab
2
2
a?b (1) 2a?b≥ab(正数a、b) 2课后反思：
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