4
易知sin∠C＝，
53
cos∠C＝.
5
在△BDC中，由正弦定理可得 ＝，
sin∠Csin∠BDC43×
5122BC·sin∠C∴BD＝＝＝.
sin∠BDC52
2由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD ＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC) ＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC 423272＝×＋×＝. 525210
『金版押题』
6?π?7．已知sinx＋3cosx＝，则cos?－x?＝( )
5?6?3344
A．－ B. C．－ D. 5555答案 B
π3?1??π??π?解析 sinx＋3cosx＝2?sinx＋cosx?＝2?sinsinx＋coscosx?＝2cos?－x?66??6?2?2??6?π?3
＝，即cos?－x?＝. 5?6?5
BDBC - 11 -
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若1133A．－ B. C．－ D.
2222答案 B
解析 在△ABC中，由正弦定理，得
sinB＝，则cosB＝( )
3cosBsinAbasinA＝＝1， 3cosBsinAπ1
∴tanB＝3，又B∈(0，π)，∴B＝，cosB＝.故选B.
32
配套作业
一、选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴π??重合，终边上一点M的坐标为(3，1)，则cos?α＋?的值是( )
3??
1
A．－
21C. 2答案 B
π?1133?解析 由已知得sinα＝，cosα＝，所以cos?α＋?＝cosα－sinα＝0. 3?2222?2. (2019·贵州凯里第一中学模拟)如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为225，小正方形的面积为9，直角三角形较小的锐角为α，则sin2α＝( )
B．0 D．1
A.
171224
B. C. D. 25252525
答案 D
解析 ∵大正方形的面积为225，小正方形的面积为9，∴大正方形的边长为15，小正
- 12 -
方形的边长为3.设四个全等的直角三角形的长直角边为x，则短直角边为x－3，由勾股定理34222
得x＋(x－3)＝15，解得x＝12，α为直角三角形较小的锐角，所以sinα＝，cosα＝，5524
所以sin2α＝2sinαcosα＝.
25
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若 a＝A.
5555 B. C. D. 3456
5
b，A＝2B，则cosB＝( ) 2
答案 B 解析 ∵a＝
55
b，由正弦定理，得sinA＝sinB.① 22
又∵A＝2B，∴sinA＝sin2B，sinA＝2sinBcosB.② 由①②且角B为△ABC的内角得cosB＝
5
. 4
4．(2019·内蒙古呼和浩特市3月质检)在平面直角坐标系中，角α的终边过P(－2,1)，则cosα－sin2α的值为( )
A.
24864
B. C. D. 25555
2
答案 B
112解析 ∵在平面直角坐标系中，角α的终边过P(－2,1)，∴tanα＝＝－，则cosα－22cosα－2sinαcosα1－2tanα8
－sin2α＝＝＝，故选B. 222sinα＋cosαtanα＋15
π
5．(2019·四川德阳第二次模拟)在△ABC中，BD是AC边上的高，A＝，cos∠ABC＝－
45BD，则＝( ) 5AC1123
A. B. C. D. 4234答案 A
解析 ∵cos∠ABC＝－
5
，∴sin∠ABC＝5
1－?－
2
??5?225?∠ABC＋π?＝，sinC＝sin???4?5?5?
＝
21010
(sin∠ABC＋cos∠ABC)＝，∵BD是AC边上的高，∴BD＝BCsinC＝BC， 21010
- 13 -
如图，由正弦定理可知＝
sin∠ABCAC， πsin
4
BC210BD1
即AC＝BC，∴＝＝，故选A.
5AC2104
BC5
6．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝( )
10
BC10
A.
56567383
B. C. D. 2323
答案 A
49＋9－251153解析 在△ACD中，由余弦定理可得cosC＝＝，则sinC＝.在△ABC中，
2×7×31414
ABAC56
由正弦定理可得＝，则AB＝，选A.
sinCsinB2
7．(2019·河南信阳高三模拟)已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cosx＋1，且y＝f(x)的图象沿x轴方向平移m个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则|m|的最小值为( )
A.
πππ5π B. C. D. 361212
2
答案 C
π??2
解析 f(x)＝23sinxcosx－2cosx＋1＝3sin2x－cos2x＝2sin?2x－?，将y＝f(x)
6??π??的图象向左平移m个单位(若m<0则为向右平移－m个单位)，得到g(x)＝2sin?2x＋2m－?，
6??
- 14 -
π?π?因为平移后图象关于点(0,0)对称，将(0,0)代入g(x)，得sin?2m－?＝0，可得2m－＝kπ，6?6?
kπππ
k∈Z，m＝＋，k∈Z，则|m|的最小值为.故选C.
2
12
12
二、填空题
π?3??π?8．已知cos?α＋?＋sinα＝，则cos?－2α?的值是________． 6?5??3?7
答案 －
25
π???π?3
解析 ∵cos?α＋?＋sinα＝cos?－α?＝，
6???6?57?π??2?π
∴cos?－2α?＝2cos?－α?－1＝－.
25?3??6?
3sin2α?π?9．(2019·辽宁辽南协作体高三一模)已知cosα＝，α∈?－，0?，则的值
51－cos2α?2?为________．
3
答案 －
4
34sin2α?π?2
解析 由cosα＝，α∈?－，0?，得sinα＝－1－cosα＝－，∴＝551－cos2α?2?2sinαcosαcosα3
＝＝＝－. 2
2sinαsinα44
－5
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA－sinB＝3sinBsinC，sinC＝23sinB，则A＝________.
答案 30°
解析 根据正弦定理可得a－b＝3bc，c＝23b，解得a＝7b.根据余弦定理cosA＝
2
2
2
2
35
b2＋c2－a2b2＋12b2－7b23
＝＝，得A＝30°. 2bc22×b×23bxx65ππ2x11．已知不等式32sincos＋6cos－－m≤0对任意的－≤x≤恒成立，则
444266
实数m的取值范围是________．
答案 [3，＋∞)
xx632x6x2x解析 依题意得，32sincos＋6cos－－m＝sin＋cos－m＝6
44422222
?xπ??5ππ??xπ??5ππ?sin?＋?－m≤0在?－，?上恒成立，∴m≥6sin?＋?在?－，?上恒成立，由6?6??26??6?26??6
- 15 -
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