2019-2020学年度最新人教B版高中数学-选修2-3教学案-条件概率

2019-2020学年度最新人教B版高中数学-选修2-3教学案-条件概率与事件的独立性

2．2.1 条件概率

条件概率[对应学生用书P26]

100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．

令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}． 问题1：试求P(A)、P(B)、P(A∩B)． 939085提示：P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝. 100100100

问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．

提示：事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为85

P(A|B)＝.

90

问题3：试探求P(B)、P(A∩B)、P(A|B)间的关系． P?A∩B?

提示：P(A|B)＝. P?B?

条件概率的概念 (1)事件的交

事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)记做D＝A∩B(或D＝AB)．

(2)条件概率

对于两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率．用符号“P(B|A)”表示．即条件概率公式P(B|A)＝

P?A∩B?

，P(A)＞0. P?A?

1．事件B发生在“事件A已发生”这个附加条件下的概率通常情况下与没有这个附加条件的概率是不同的．

1 / 8

2．由条件概率的定义可知，P(B|A)与P(A|B)是不同的．另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．

3．P(B|A)＝

P?A∩B?

可变形为P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中的两个值就可以P?A?

求得第三个值．

4．事件AB表示事件A和事件B同时发生．把事件A与事件B同时发生所构成的事件D称为事件A与B的交(或积)，记为D＝A∩B(或D＝AB)．

[对应学生用书P27]

条件概率的计算 [例1] 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；

(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；

(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．

[思路点拨] 根据分步乘法计数原理先计算出事件总数，然后计算出各种情况下的事件数后即可求解．

[精解详析] 设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.

(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本事件总数为A25＝20.

1事件A所含基本事件的总数为A3×A14＝12.

故P(A)＝

123

＝. 205

(2)因为事件A∩B含A23＝6个基本事件． 所以P(A∩B)＝

63

＝. 2010

(3)法一 由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为3

P?A∩B?101

P(B|A)＝＝＝. 32P?A?

5

6

法二 因为事件A∩B含6个基本事件，事件A含12个基本事件，所以P(B|A)＝＝

121. 2

2 / 8

[一点通]

计算条件概率的两种方法：

(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)＝事件A∩B所含基本事件的个数

；

事件A所含基本事件的个数

P?A∩B?

(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再按公式P(B|A)＝计算求得

P?A?P(B|A)．

1．(新课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )

A．0.8 C．0.6

B．0.75 D．0.45

P?AB?0.6

解析：根据条件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率为＝0.8.

0.75P?A?答案：A

2．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．

C116解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝2，P(A∩B)＝2，

C7C7

P?A∩B?1

故P(B|A)＝＝.

6P?A?

1

答案：

6

3．一个盒子中有6只正品晶体管，4只次品晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回，若已知第一只是正品，求第二只也是正品的概率．

解：令Ai＝{第i只是正品}，i＝1,2. 6×93

P(A1)＝＝，

10×956×51

P(A1∩A2)＝＝，

10×93

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