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第一篇：应用题专题知识框架体系
一、和差倍问题
（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这 两个数。
方法①：（和－差） 较大数 2 较小数， 和 较小数
方法②：（和
差） 较大数
较小数
2 较大数， 和 例如：两个数的和是 15，差是 5，求这两个数。 方法： (15 5) 2 5 ， (15 5) 2 10 .
（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关 系，求这两个数。
方法：和
（倍数 1 ） 1倍数（较小数）
1 倍数（较小数）
倍数 几倍数（较大数）
或
和 1 倍数（较小数） 几倍数 （较大数）例如： 两个数的和为 50，大数是小数的 4 倍， 求这两个数。
方法： 50 (4 1) 10 10 4 40
（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，
求这两个数。
方法：差 （倍数 1 ） 1倍数（较小数）
1 倍数（较小数） 倍数 几倍数 （较大数）或
和 1倍数（较小数） 几倍数（较大数）
例如：两个数的差为
80，大数是小数的 5 倍，求这
两个数。
方法： 80 (5 1) 20 20 5 100
二、年龄问题 年龄问题的三大规
律： 1．两人的年龄差是不变的；
2．两人年龄的倍数关系是变化的量；
3．随着时间的推移， 两人的年龄都是增加相等的量． 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄 大小年龄差 倍数差 小年龄， 几年前年龄 小年龄 大小年龄差
倍数差．
三、植树问题
（一）不封闭型（直线）植树问题 1
直线两端植树： 棵数 段数 1 全长 株距 1 ； 全长 株距 （棵数 1 ）；
株距 全长 （棵数 1）；
直线一端植树： 全长 株距 棵数；
2
棵数 全长 株距；
3 直线两端都不植树：株距 棵数全长
段数
距 1； 株距 全长 （棵数 棵数； 1 全长 株 1）；
（二） 封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题
.
棵数 总距离 棵距； 总距离 棵数
棵距； 棵距
总距离
棵数．
四、方阵问题
在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果
行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所 谓的“方阵” 。
方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层， 每边上的人 （或物） 数量都相同．每向里一层，每边上的人 数就少 2 ，每层总数就少 8 ．
②每边人（或物）数和每层总数的关系： 每层
总数
[ 每边人（或物）数 1] 4 ； 每 =每层总数 4 1．
③实心方阵： 总人 （或物） 数 =每边人 （或
×每边人（或物）数． 五、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数 为
基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫 做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加 减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙 述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运
算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来 相反；二是运算方法与原来相反． 六、盈亏问题
按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分 的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就 叫亏，这就是盈亏问题的含义．
一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种 分配方法有多余的物品 ( 盈 ) ，第二种分配方法 则不足 ( 亏 ) ，当两种分配方法相差
n 个物品时，那就有：
盈数 亏数 人数 n ， 这是关于盈亏问题很重要的一个关系式． 解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括： ( 盈
亏 )
两次分得之差 人数或单位数， ( 盈 盈) 两次分得之差 人数或单位数， ( 亏 亏) 两次分
得之差 人数或单位数． 解盈亏问题的关键是要找到： 什么情况下会盈，盈多少？什么情况下“亏”
，“亏”多少？找到盈亏 的根源和几次盈亏结果不同的原因．
边人（或物）数物）数
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另外在解题后，应进行验算．
七、假设问题 鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在
现实生活 中也是普遍存在的． 重点掌握鸡兔同笼问题的解法
——假设法， 并会将这种方法应用到一些实际问题 中 .
解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 鸡数 =（每只兔子脚数×鸡兔总数 - 实际脚数）÷ （每只兔子脚数 - 每只鸡的脚数） 兔数 =鸡兔总数 - 鸡数
当然，也可以先假设全是鸡，那么就有： 兔数 =（实际脚数 - 每只鸡脚数×鸡兔总数）
÷（每
只兔子脚数 - 每只鸡的脚数）
鸡数 =鸡兔总数 - 兔数 八、
牛吃草问题
（一）牛吃草的由来
在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书 中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目： “ 12 头牛 4 周吃牧草 3 1 格尔 ( 格尔： 牧场面积单位 ) ，同样的3
牧草， 21 头牛 9 周吃 10 格尔．问 24 格尔牧草，多少头 牛吃 18 周吃完？”后来人们就把这类题目称为“牛顿问 题”，也称为“牛吃草”问题．
（二）牛吃草的解题步骤
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总 结为：
⑴设定 1 头牛 1 天吃草量为“ 1”； ⑵草的生长速度 ( 对应牛的头数 较多天数 对应牛的头数 较少天数 ) ( 较多天数 较少天数 ) ；
⑶原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；
⑷吃的天数 原来的草量 ( 牛的头数 草的生长 速度 ) ；
⑸牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速 度．
（三）牛吃草的变式题 “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票
口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和 解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
（四）多块草地的牛吃草问题 多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变
得统一， 一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数， 这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一 般把面积统一为“
1”相对会简单些。
九、工程问题
工程问题， 究其本质是运用分数应用题的量率对应 关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方 法可以称作是一种“工程习惯” ，这一类问题称之为“工
程问题”。 1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用
公式：
工作效率×工作时间 =工作总量，表示出各个工程队 （人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。
.
2.利用常见的数学思想方法， 如代换法、 比例法、 列表法、
方程法等。抛开“工作总量” ，和“时间” ，抓住题目 给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关 的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成 一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求 的是时间。
有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路 筑桥、开挖河渠” ，甚至会表现为“行程问题” 、“经济价
格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解 题方
法。 十、浓度问题
将糖溶于水就得到了糖水，糖水甜的程度是由糖 与糖水二者重量的比值决定的．糖与糖水重量的比值 叫糖水的浓度，这个比值一般我们将它写成百分 数．其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液．不光是 糖水中存在着浓度，我们日常生活中的盐水、酒精等 溶液只能够都存在着浓度的问题． ⑴浓度问题相关公式： 溶液 溶质 溶剂 ；
浓度
溶质 100%
溶质
溶液
溶质 溶剂
100% ．
⑵常用方法：
①抓不变量： 一般情况下在经济问题中成本是不变 量，浓度问题中溶剂是不变量，我们可以用画图来分 析；
②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是 简便、有效的方法；
③十字交叉法： ( 甲溶液浓度大于乙溶液浓度 ) ；形 象表达： ④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有 用．
十一、利润问题 商店出售商品时，为了获得最大的利润，商家总是 “低进高出” ，只有这样才能赚取差价， 这个差价就 会产生利润．实际上，在商品贸易上的许多数学问 题都会涉及到三个量：成本、利润及定价． 成本——购进商品所需的本钱， 又叫进价或成本价； 定价——商品出售的价格，又叫售价或卖卖价； 利润——产品定价中高于成本以上的那一部分． 为了衡量获得利润的大小， 通常采用：“ 利润百分数” 或“利润率”这个量：
售价 成本 利润，利润率利润成本
100% 售价成本 成本 100% 售价 成本
1 100%
由上面的公式还可以引申出下面两个公式：
售价 =成本 （1+利润率）， 成本
售价
． 1+利润率
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第二篇：习题汇编
1. 商 店进了 300 支钢笔，每售出 1 支，可获 40% 的利润 当这批钢笔售出芸时，共获得利润 750 元，求每支钢 笔的进货价 .
2. 商 场以每个 3.2 元的价格购进了一批文具盒， 每个售价 5 元，还剩下 80 个没售出时，除了成本已经获利 500 元．问这批文具盒一共有多少个 ?
3. 人 民商厦运来一批彩电，按定价出售可以获利 2.8 万 元，如果按定价的九五折出售， 则仍可获利 2000 元．问 彩电的成本价共是多少元 ?
4. 红 星商场进了一批玩具，六月一日这天以定价的八折 出售，当天售出的玩具仍可获得 10% 的利润，问这批
玩具定价时的利润是百分之几 ?
5. 一 批商品，按照能获得
50% 的利润定价，结果只销掉
了 70% 的商品．为尽快将剩下的商品销售出去，商店 决定打折出售，这样所获得的全部利润是原来能获利 润的 82% ．问剩下的商品打了多少折出售 ?
6. 有 300 克浓度为 10% 的盐水．现在要将这盐水的浓度 变为 8% ，问应加入多少克水 ?
7. 要 从含糖 16% 的 20 千克糖水中蒸去水分，制出含糖 20% 的糖水，问应当蒸去多少千克水分 ?
.
8. 要配制浓度为 20% 的硫酸溶液 1000 克，需要用浓度为 18% 和 23% 的硫酸溶液各多少克 ?
9. 大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的
2 倍，大瓶酒精溶液
的浓度为 20% ，小瓶酒精溶液的浓度为 35% ．将两瓶 酒精溶液混合后，酒精溶液的浓度是多少 ?
10. 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别
占 48% 、 62.5% 和 2 ．已知三缸酒精溶液总量是 100 3
千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶 液的总量．三缸溶液混合后，听含纯酒精的百分数将 达 56% ，那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克 ?( 1997 年小学数学奥林匹克预赛
C 卷第 12 题)
11. 甲瓶中有纯酒精 11 升，乙瓶中有水 15 升，第一次 将甲瓶中的一部分酒精倒入乙瓶中，使酒精和水混
合．第二次将乙瓶中的一部分混合液倒入甲瓶中．这 样，甲瓶中的纯酒精含量为 62.5% ，乙瓶中的纯酒精 含量为 25% ．问第二次从乙瓶倒人甲瓶的混合液是多 少升 ?
12. 李明和王林在周长为 400 米的环形跑道上练习跑
步，李明每分钟跑
200 米，是王林每分钟跑的
8
，如
9
果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要 经过几分钟两人才能相遇 ?
13. 从 360 米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑 步，甲每分钟跑 305 米，乙每分钟跑 275 米，两人起 跑后，问第一次相遇在离起点多少米处 ?
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