高数第五版答案1-8

习题1?8

1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:

?x2 0?x?1 (1)f(x)??;

?2?x 1?x?2?x ?1?x?1 (2)f(x)??.

1 |x|?1? 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. f(x)?lim(2?x)?1 f(x)?limx2?1, lim 在x?1处, 因为f(1)?1, lim????x?1x?1x?1x?1所以limf(x)?1, 从而函数f(x)在x?1处是连续的.

x?1 综上所述，函数f(x)在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x??1和x?1处的连续性.

在x??1处, 因为f(?1)??1, lim?f(x)?lim?1?1?f(?1), lim?f(x)?lim?x??1?f(?1), 所以

x??1x??1x??1x??1函数在x??1处间断, 但右连续.

f(x)?limx?1?f(1), limf(x)?lim1?1?f(1), 所以函数在x?1处 在x?1处, 因为f(1)?1, lim????x?1x?1x?1x?1连续.

综合上述讨论, 函数在(??, ?1)和(?1, ??)内连续, 在x??1处间断, 但右连续.

2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: x2?1 (1)y?2, x?1, x?2;

x?3x?2 (2)y??x, x?k, x?k?? (k?0, ?1, ?2, ? ? ?); tanx21 (3)y?cos2, x?0;

x?x?1 x?1 (4)y??, x ?1.

3 ?x x?1?x2?1(x?1)(x?1)? 解 (1)y?2. 因为函数在x?2和x?1处无定义, 所以x?2和x?1是函数

x?3x?2(x?2)(x?1)的间断点.

x2?1??, 所以x?2是函数的第二类间断点; 因为limy?lim2x?2x?2x?3x?2 因为limy?limx?1(x?1)??2, 所以x?1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x?1处,

x?1(x?2)令y??2, 则函数在x?1处成为连续的. (2)函数在点x?k?(k?Z)和x?k?? 因lim ?(k?Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 2x??(k?0), 故x?k?(k?0)是第二类间断点;

x?k?tanxx?1,

x?0tanxlimx?k?? 因为lim?2x ??0(k?Z), 所以x?0和x?k??(k?Z) 是第一类间断点且是可tanx2去间断点.

令y|x?0?1, 则函数在x?0处成为连续的; 令x?k?? ? ?时, y?0, 则函数在x?k??处成为连续的. 2211在x?0处无定义, 所以x?0是函数y?cos2的间断点. 又因为xx (3)因为函数y?cos21limcos2不存在, 所以x?0是函数的第二类间断点. x?0xf(x)?lim(x?1)?0limf(x)?lim(3?x)?2, 所以x?1是函数的第一类不可去间断 (4)因为lim????x?1x?1x?1x?1点.

1?x2nx的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 3. 讨论函数f(x)?limn??1?x2n??x |x|?11?x2n?x??0 |x|?1. 解 f(x)?limn??1?x2n?x |x|?1? 在分段点x??1处, 因为lim?f(x)?lim?(?x)?1, lim?f(x)?lim?x??1, 所以x??1为函数的

x??1x??1x??1x??1第一类不可去间断点.

f(x)?limx?1, limf(x)?lim(?x)??1, 所以x?1为函数的第一类 在分段点x?1处, 因为lim????x?1x?1x?1x?1不可去间断点.

4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)?0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当x?U(x0)时, f(x)?0.

证明 不妨设f(x0)>0. 因为f(x)在x0连续, 所以limf(x)?f(x0)?0, 由极限的局部保号性定理,

x?x0存在x0的某一去心邻域U(x0), 使当x?U(x0)时f(x)>0, 从而当x?U(x0)时, f(x)>0. 这就是说, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当x?U(x0)时, f(x)?0.

?? 5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:

11 (1)x?0, ?1, ?2, ?, ?????, ?n, ?, ?????是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;

2n (2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续; (3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数f(x)?csc(?x)?csc?11在点x?0, ?1, ?2, ?, ?????, ?n, ?, ?????处是间断的??且这些点是函数的无穷间断点.

解(2)函数f(x)????1 ?1 解(3)函数f(x)???x ??x

x2nx?Qx?Q在R上处处不连续, 但|f(x)|?1在R上处处连续.

x?Qx?Q在R上处处有定义, 它只在x?0处连续.