第1讲 直线与圆
热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
|C1－C2|A＋B
22(A2
＋B2≠0)．
|Ax0＋By0＋C|2
(A＋B2≠0)． 22A＋B
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝
例1 (1)(2019·金华十校模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程为( ) A．x－2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 答案 C
1解析 由于直线x－2y－2＝0的斜率为，
2故所求直线的斜率等于－2， 所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)， 即2x＋y－2＝0，故选C.
B．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________． 答案 32
解析 由题意得，当k≠0时，直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线l2：1
x＋ky－2＝0的斜率为－，且经过点B(2,0)，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直径的圆
kC上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r＝2， 由圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝
|1－1－4|
2
＝22，
所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为 d＋r＝22＋2＝32.
当k＝0时，l1⊥l2，此时点P(2,2)．
|2－2－4|
点P到直线x－y－4＝0的距离d＝＝22.
2综上，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为32.
思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
跟踪演练1 (1)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是( ) 3
A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ 2答案 A
解析 ①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意．
?②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得?2
?1＋m≠－2，
综上可得m＝1.
1m－＝－，21＋m
解得m＝1.
2
(2)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－，则直线l
3的方程是( ) A．－3x＋2y＋1＝0 C．2x＋3y－5＝0 答案 C
?x＋y＝2，?x＝1，??
解析 解方程组?得?
??2x－y＝1，y＝1，??
B．3x－2y＋1＝0 D．2x－3y＋1＝0
所以两直线的交点为(1,1)．
2
因为直线l的斜率为－，
3
2
所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
3即2x＋3y－5＝0. 热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程
DE?D2＋E2－4F?x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D＋E－4F>0，表示以?－2，－2?为圆心，为半
2
2
2
2
2
径的圆．
例2 (1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( ) A.(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B.(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D.(x－3)2＋(y－1)2＝1 答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联
???3x－4y＋5＝0，?x＝－3，
立方程组?解得?两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而
?y＝－x－4，???y＝－1.
圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.
(2)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________． 答案 x2＋y2－2x＝0
解析 方法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)， F＝0，??
∴?2＋D＋E＋F＝0，??4＋2D＋F＝0，
D＝－2，??
解得?E＝0，
??F＝0.
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 方法二 画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1， 即x2＋y2－2x＝0.
思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2 (1)(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
x2y2
(2)已知A，B分别是双曲线C：－＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外
m2接圆的标准方程为________________． 答案 x2＋(y－3)2＝10
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解析 ∵P(3,4)为C上一点，－＝1，
m2解得m＝1，则B(1,0)， ∴kPB＝2，
1
PB的中垂线方程为y＝－(x－2)＋2，
2令x＝0，则y＝3， 设外接圆圆心为M(0,3)， r＝|MB|＝1＋32＝10，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d＜r?直线与圆相交，d＝r?
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