实验三 级数
【实验目的】
1． 了解级数的有关理论。 2． 了解函数的Taylor展开式
3．学习掌握MATLAB软件有关的命令。
【实验内容】
1． 求函数y?sinx的Taylor级数，并考察它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函数
向y?sinx的图形的逼近的情况
2． 计算级数
?nn?1?12的值
3． 验证Euler公式C?lim(1?n??111?????lnn)?0.5771? 23n【实验准备】
1． 级数的基本概念
数项级数：称用加号将数列an的项连成的式子
a1?a2?a3???an??
为（常数项）无穷级数，简记为
?an?1?n。称级数
?an?1?n前n项构成的和
nSn?a1?a2?a3???an??ak
k?1为级数的部分和。若limSn?S，则称级数
n???an?1?n收敛，其和为S。
Taylor级数：设函数f(x)在包含x?a的区域内具有各阶导数，则称幂级数
?n?0?f(n)(a)f(2)(a)f(n)(a)n2(x?a)?f(a)?f'(a)(x?a)?(x?a)???(x?a)n??n!2!n!
为函数f(x)在x?a的Taylor级数，当a?0时称为Maclaurin(麦克劳林)级数。
2．级数的MATLAB命令
MATLAB中主要用symsum,taylor求级数的和及进行Taylor展开。
symsum(s,v,a,b) 表达式s关于变量v从a到b求和 taylor(f,a,n) 将函数f在a点展为n-1阶Taylor多项式 可以用help symsum, help taylor查阅有关这些命令的详细信息
【实验方法与步骤】
练习1 先用taylor命令观测函数y?sinx的Maclaurin展开式的前几项,例如观测前6项, 相应的MATLAB代码为：
clear; syms x; taylor(sin(x),0,1) taylor(sin(x),0,2) taylor(sin(x),0,3) taylor(sin(x),0,4) taylor(sin(x),0,5) taylor(sin(x),0,6)
结果为:
ans =0 ans =x ans =x
ans =x-1/6*x^3 ans =x-1/6*x^3
ans =x-1/6*x^3+1/120*x^5
然后在同一坐标系里作出函数y?sinx和它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函
x3x3x5,y?x??,?,的图形，观测这些多项式函数的图形向数y?x,y?x?3!3!5!y?sinx的图形的逼近的情况。例如，在区间[0,?]上作函数y?sinx与多项式函数
x3x3x5y?x,y?x?,y?x??图形的MATLAB代码为：
3!3!5!x=0:0.01:pi; y1=sin(x); y2=x; y3=x-x.^3/6; y4=x-x.^3/6+ x.^5/120; plot(x,y1,x,y2,’:’,x,y3, ’:’,x,y4,’:’)
结果如图3.1，其中实线表示函数y?sinx的图形。
1.510.5001234 图3.1 y?sinx的泰勒级数
类似地，根据函数的Taylor级数
x2x4x6cosx?1?????,x?(??,??),2!4!6!x2x3xe?1?x????,x?(??,??),2!3!
234xxxln(1?x)?x?????,x?(?1,1],234?(??1)2(1?x)??1??x?x??,x?(?1,1).2!作图观测其展开式的前几项多项式逼近原函数的情况。
练习2 利用幂级数计算指数函数。指数函数可展开为幂级数
x2x3xne?1?x???????,x?(??,??),
2!3!n!x其通项为x^n/prod(1:n),因此用下列循环相加就可计算出这个级数
x=input('x='); n=input('n='); y=1; %输入原始数据，初始化y
for i=1:n y=y+x^i/prod(1:i); end, vpa(y,10), %将通项循环相加，得y
执行此程序，分别带入x=1,2,4,-4这四个数，取n=10,y的结果如下
2.718281801， 7.388994709， 54.44310406， .9671957672e-1
而用vpa(exp(1),10), vpa(exp(2),10), vpa(exp(4),10), vpa(exp(-4),10)命令可得e,e,e,e的10位精确有效数字为
2.718281828, 7.389056099, 54.59815003, .1831563889e-1
对照可知，用级数法计算的有效数字分别为8，4，2，0位。
由此可以看出，这个程序虽然原理上正确，但不好用。对不同的x,精度差别很大。其他存在的问题有：
这个程序不能用于x的元素群运算；当x为负数时，它成为交错级数，收敛很慢；此
24?4n2程序要做次乘法，n很大时，乘法次数太多，计算速度很低；对不同的x,要取不同的n
2才能达到精度要求，因此n不应由用户输入，应该由软件按精度要求来选。
正对上面的四个问题，可以采用下面四种方法改进： （1）允许数组输入，改进输出显示
x=input('x='); n=input('n='); y=ones(size(x)); %输入原始数据，初始化y for i=1:n
y=y+x.^i/prod(1:i); %循环相加
s1=sprintf('.0f',i); s2=sprintf('.8f',y); %将结果变为字符串 disp([s1,s2]) %显示 end,
执行此程序，输入x=[1 2 4 -4]，n=10，结果为
1 2.00000000 3.00000000 5.00000000 -3.00000000 2 2.50000000 5.00000000 13.00000000 5.00000000 3 2.66666667 6.33333333 23.66666667 -5.66666667 4 2.70833333 7.00000000 34.33333333 5.00000000 5 2.71666667 7.26666667 42.86666667 -3.53333333 6 2.71805556 7.35555556 48.55555556 2.15555556 7 2.71825397 7.38095238 51.80634921 -1.09523810 8 2.71827877 7.38730159 53.43174603 0.53015873 9 2.71828153 7.38871252 54.15414462 -0.19223986 10 2.71828180 7.38899471 54.44310406 0.09671958
（2）可以利用exp(-x)=1/exp(x)来避免交错级数的计算；
（3）为了减少乘法次数，设一个中间变量z，它的初始值为z=ones(size(x)),把循环体中的计算与句改为
y=y+z; z=x.*z/i;
这样，求得的z就是z=x.^i/i!,于是每个循环只需做一次乘法，计算整个级数只需n次乘法。按这种计算，y的初始值改为y=zeros(size(x))
(4) 为了按精度选择循环次数,不该使用for循环,而用while语句,它可以设置循环的条件语句,通常可用y+z-y>tol,tol是规定的允许误差.只要相邻的两次y值之差大于tol,循环就继续进行,直到小于tol为止.
当x较大时,exp(x)仍能很快收敛,还可以利用关系式exp(x)?(exp()),令x1=x/k.k通常取大于x而最接近x的2的幂,例如x=100,就取k=128,可以保证x1的绝对值小于1,这时级数收敛得很快..从练习中可以看出,n取10时(即级数取10项)就能保证7位有效数,而
xkkexp(x1)128可以化成x?(?((exp(x1))2)2?)2,即exp(x1)的7次自乘,总共用17次乘法就可
完成exp(100)?(?((exp(100/128)))?)的计算,这既保证了精度,又提高了速度. 练习3 编写任意函数展开为各阶泰勒级数的程序,并显示其误差曲线.对于任意函数y=f(x),其泰勒展开式为
222f(2)(a)f(n)(a)2f(x)?f(a)?f'(a)(x?a)?(x?a)???(x?a)n?Rn(x).
2!n!其中Rn(x)为余项,也就是泰勒展开式的误差.MATLAB语句为
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