课后限时集训(十五) 导数与函数的极值、最值
(建议用时：60分钟) A组 基础达标
一、选择题
π
1．(2018·银川三模)已知函数f(x)＝cos x＋aln x在x＝处取得极值，则a＝( )
61
A. 4πC. 12
B.π 4
πD．－
12
a?π?C [∵f′(x)＝－sin x，且f′??＝0， x?6?a1π
∴－＝0，即a＝，故选C.] π2126
2．(2019·东莞模拟)若x＝1是函数f(x)＝ax＋ln x的极值点，则( ) A．f(x)有极大值－1 C．f(x)有极大值0
A [∵f(x)＝ax＋ln x，x＞0， 1
∴f′(x)＝a＋，
B．f(x)有极小值－1 D．f(x)有极小值0
x由f′(1)＝0得a＝－1， 11－x∴f′(x)＝－1＋＝.
xx由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1， ∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减． ∴f(x)极大值＝f(1)＝－1，无极小值，故选A.]
3．已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为( ) A．1 C．e
B．2 1
D. e
11
D [f′(x)＝－a，x＞0.当a≤0时，f′(x)＝－a＞0恒成立，函数f(x)单调递增，不存
xx111
在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝.当0＜x＜时，f′(x)＞0，函数f(x)
xaa1
单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
a11?1?∴f(x)max＝f??＝ln －1＝0，解得a＝，故选D.] ae?a?
4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )
- 1 -
A．3 C．6
B．4 D．5
272
A [设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πRl＝27π，∴l＝2，要使用料最省，只R需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小． 2722
由题意，S＝πR＋2πRl＝πR＋2π·. R54π
∴S′＝2πR－2，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小．故选A.]
R5．(2018·南宁一模)设函数f(x)＝－x＋3bx，当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的值是( ) 1A. 22C. 2
C [∵f(x)＝－x＋3bx， ∴f′(x)＝－3x＋3b.
①当b≤0时，x∈[0,1]时，f(x)≤0，不合题意； ②当b＞0时，由f′(x)＝0得x＝±b. 由f′(x)＞0得0＜x＜b， 由f′(x)＜0得x＞b.
∴f(x)在(0，b)上为增函数，在(b，＋∞)上为减函数． 2
若b≥1时，由f(1)＝－1＋3b＝1得b＝＜1矛盾，故b＜1.
3
3
此时f(b)＝1，即－(b)＋3bb＝1，解得b＝二、填空题
6．函数y＝－e＋x在R上的最大值是________． －1 [由y＝－e＋x得y′＝－e＋1， 由y′＝0得x＝0. 又当x＜0时，y′＞0， 当x＞0时，y′＜0.
∴当x＝0时，y取得最大值－1.]
7．设a∈R，若函数y＝e＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_____． (－∞，－1) [∵y＝e＋ax，∴y′＝e＋a. ∵函数y＝e＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝e＋a＝0有大于零的解，
xxxxxxxx3
23
3
B.
2 234 2
3
D.
2
，故选C.] 2
- 2 -
∵x＞0时，－e＜－1，∴a＝－e＜－1.]
8．(2019·武汉模拟)若函数f(x)＝2x－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
2
xx?1，3? [因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又因为f′(x)＝4x－1，所以由f′(x)＝0解得x?2?x??
1??k－1＜＜k＋1，12＝，由题意得?2
??k－1≥0，三、解答题
9．(2018·北京高考)设函数f(x)＝[ax－(4a＋1)x＋4a＋3]e. (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a； (2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围． [解] (1)因为f(x)＝[ax－(4a＋1)x＋4a＋3]e， 所以f′(x)＝[ax－(2a＋1)x＋2]e.
2
2
2
x3
解得1≤k＜.]
2
xxf′(1)＝(1－a)e.
由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1. 此时f(1)＝3e≠0. 所以a的值为1.
(2)由(1)得f′(x)＝[ax－(2a＋1)x＋2]e ＝(ax－1)(x－2)e.
1?1?若a＞，则当x∈?，2?时，f′(x)＜0； 2?a?当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在x＝2处取得极小值．
11
若a≤，则当x∈(0,2)时，x－2＜0，ax－1≤x－1＜0，
22所以f′(x)＞0.
所以2不是f(x)的极小值点．
x2
x?1?综上可知，a的取值范围是?，＋∞?.
?2?
?－x＋xx＜1，?
10．已知函数f(x)＝?
??aln xx≥1.
3
2
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
22
[解] (1)当x＜1时，f′(x)＝－3x＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.3当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
- 3 -
x f′(x) f(x) (－∞，0) － 0 0 极小值 ?0，2? ?3???＋ 2 30 极大值 ?2，1? ?3???－ 2故当x＝0时，函数f(x)取得极小值为f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.
3
?2??2?(2)①当－1≤x＜1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和?，1?上单调递减，在?0，?上单调?3??3?
递增．
?2?4
因为f(－1)＝2，f??＝，f(0)＝0，所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.
?3?27
②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，
当a≤0时，f(x)≤0；当a＞0时，f(x)在[1，e]上单调递增，则f(x)在[1，e]上的最大值为
f(e)＝a.
故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a； 当a＜2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.
B组 能力提升
1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
A B
C D
C [由题意可得f′(－2)＝0，且当x＜－2时，f′(x)＜0，则y＝xf′(x)＞0，故排除B和D；当x＞－2时，f′(x)＞0，所以当x∈(－2,0)时，y＝xf′(x)＜0，当x＞0时，y＝xf′(x)＞0，故排除A，选C.]
2．函数f(x)＝x－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( ) A．20 C．3
2
3
B．18 D．0
A [原命题等价于对于区间[－3,2]上的任意x，都有f(x)max－f(x)min≤t， ∵f′(x)＝3x－3，∴当x∈[－3，－1]时，f′(x)＞0， 当x∈[－1,1]时，f′(x)＜0， 当x∈[1,2]时，f′(x)＞0.
- 4 -
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