角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是
________．
【解析】 当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，
??a＞0，1只需?解得a＞.
2?Δ＝22－4×2a＜0，?
1?综上，所求实数a的取值范围是??2，＋∞?. 1?【答案】 ??2，＋∞?
角度二 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围
若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0，2]恒成立，则a的取值范围是( ) 1－3??A.?－∞，?
2??B.?
?1＋3?，＋∞?
?2?
1－3??1＋3??C.?－∞，∪??，＋∞?
2??2??D.?
?1－31＋3?
?
?2，2?
x
1
11x＋x
【解析】 因为x∈(0，2]， 所以a2－a≥
＝x2＋1
1x＋x
.要使a2－a≥
在x∈(0，2]时恒成立，
?1?
则a2－a≥?1?，
x＋?x?max
?1?11
由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，即?1?＝.
xx＋2
?x?max
1－31＋31
故a2－a≥，解得a≤或a≥.
222【答案】 C
角度三 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围
已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为
________．
【解析】 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，联立方程解得x＜1或x＞3.
【答案】 {x|x＜1或x＞3}
(1)不等式恒成立问题的求解方法
①一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．
②一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．
③一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
(2)三个“二次”间的转化
二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题．
1．若函数y＝mx2－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是________． 解析：要使y＝mx2－（1－m）x＋m有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对?x∈R恒成立，
??m>0，1则?解得m≥.
3??（1－m）2－4m2≤0，
1
答案：m≥
3
2．若关于x的不等式4x－2x1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：因为不等式4x－2x1－a≥0在[1，2]上恒成立， 所以4x－2x1≥a在[1，2]上恒成立．
令y＝4x－2x1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1. 因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0， 所以实数a的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]
＋＋
＋＋
一元二次不等式的应用
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为12万元辆，年
销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【解】 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000(1＋0.6x)(0 ??y－（12－10）×10 000>0，必须有? ?0 2??－6 000x＋2 000x>0，即? ?0 1解得0 3 1 0，?范围内． 所以投入成本增加的比例应在??3? 解不等式应用题的步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)将文字语言转化为符号语言，用不等式(组)表示不等关系； (3)解不等式(组)，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义； (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果． 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价 8 降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． 5 (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． x8 1－?·100?1＋x?. 解：(1)由题意得y＝100??10??50?因为售价不能低于成本价， x 1－?－80≥0，得x≤2. 所以100??10?所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]． (2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0. 113解得≤x≤. 24 1?所以x的取值范围是??2，2?. 思想方法系列5 转化与化归思想在不等式中的应用 (2020·嘉兴模拟)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2 x)的图象为( ) ? ?－2＋1＝1，??a＝－1， a【解析】 由题意得?解得?则函数y＝f(－x)＝－x＋x＋2，结 ?c＝－2，? c??－2×1＝－a， 2 a<0， 合选项可知选C. 【答案】 C 本例利用了转化思想，其思路为 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(如本例)，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 设a，b是关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b－1)2的最小值是( ) 49 A．－ 4 B．18 C．8 D．－6 解析：选C.因为关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个根为a，b， ??a＋b＝2m，所以?且Δ＝4(m2－m－6)≥0，解得m≥3或m≤－2. ?ab＝m＋6，? 所以y＝(a－1)2＋(b－1)2＝(a＋b)2－2ab－2(a＋b)＋2＝4m2－6m－10＝4 ?m－3?－49. 4??4 2 由二次函数的性质知，当m＝3时，函数y＝4m2－6m－10取得最小值，最小值为8.故选C. [基础题组练] 1．设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( ) A．(1，2) C．[1，2) B．[1，2] D．(1，2] 解析：选D.A＝[－1，2]，B＝(1，＋∞)，A∩B＝(1，2]． 11?a－b? x<－，或x>?，则2．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为?x?的值为( ) 23?a??5 A. 61C．－ 6 1B. 65D．－ 6 a－b11b111 解析：选A.由题意得ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则 23a236ab15 ＝1－＝1－＝. a66 ??x＋2，x≤0，3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f(x)＝?则不等式f(x)≥x2 ?－x＋2，x>0，? 的解集为( ) A．[－1，1] C．[－2，1] 解析：选A.法一：当x≤0时，x＋2≥x2， 所以－1≤x≤0；① 当x>0时，－x＋2≥x2， 所以0 a16b 4．(2020·宁波效实中学模拟)不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则 ba B．[－2，2] D．[－1，2]
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