代入边界条件ii：Acosh()?Csinh()?Acosh()?S?A?aLaLaLS
cosh(a/L)所以?F???F?dVdVF?dx1S???acosh(a/L)?dx?0a0aa0x1SgLsinh(a/L)SLacosh()dx??tanh()
Lacosh(a/L)aLScosh(a/L)?(a)aacosh(a/L)Q???coth()
SLL?Ftanh(a/L)La（2）把该问题理解为“燃料内中子吸收率 / 燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分别为?a和?a，则有：
FM??FF??dVMFaF?a?dV??FF?aa?F?aLtanh(a/L)?a??回顾扩散bFMFMMFM?Ltanh(a/L)??(b?a)?a???(b?a)Saa?a?dV??a?dx???a?dxaFa00a?aF?a?dx2FF长度的定义，可知：L?D/?a??aL?D/L，所以上式化为：
F?aLtanh(a/L)Dtanh(a/L) ?FMM?aLtanh(a/L)??a(b?a)Dtanh(a/L)?L?a(b?a)（这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为S，其在b处的流密度自然为0，但在a处情况特殊：如果认为其流密度也为0，就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料内通量为0这一结论！所以对于这一极度简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节。） 3-21 解：（1）建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系（对此问题表达式较简单），建立扩散方程：
?D?2???a??S
即：?2???aS??? DD边界条件：i. 0?????, ii.J(r)?0,0?r??? 设存在连续函数?(r)满足：
??2???2?,???aS1?????2?DDL(1)(2)2
可见，函数?(r)满足方程?由条件i可知：C = 0，
??1exp(?r/L)exp(r/L)??(r)?A?C，其通解形式： 2Lrr由方程（2）可得：?(r)??(r)?S/?a?Aexp(?r/L)/r?S/?a 再由条件ii可知：A = 0，所以：
??S/?a
（实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为0）
精选
（2）此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：
?D?2???a??S
即：?2???aS???，x > 0 DDx?0边界条件：i. 0?|?|???,
ii. limJ(x)????at?(0)/2,
iii. limJ(x)?0
x??对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。
参考上一问中间过程，可得通解形式：?(x)?Aexp(?x/L)?Cexp(x/L)?S/?a
J(x)??Dd?AD?x/LCDx/L?e?e dxLLADCDtStLS??????(A?C?)?C?A??(A?C?) aaLL2?a2D?a由条件ii可得：
limJ(x)?x?0
由条件iii可得：C = 0 所以：?A???atLSS(A?)?A?
2D2D?a(??1)?atL??a?x/L??teSSS?x/La?(x)?e??[1?]
2D?a?a??at?(2D/L)(??1)?atL??a对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。
3-22
解：以源平面任一点为原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：
1?1(x),x?0L2
1?2?2(x)?2?2(x),x?0L?2?1(x)?边界条件： i. lim?1(x)?lim?2(x);
x?0x?0ii. lim[J(x)|x?0???J(x)|x?0??]?S;
??0
iii.?1(a)?0;
iv. ?2(?b)?0;
通解形式：?1?A1sinh(x/L)?C1cosh(x/L)，?2?A2sinh(x/L)?C2cosh(x/L) 由条件i：C1?C2 由条件ii：
（1）
d?1d?Dxxxx?D2)?lim[?A1cosh()?C1sinh()?A2cosh()?C2sinh()]?S
x?0x?0LdxdxLLLLSLSL??A2?A1?A1?A2? （2）
DDlim(?D由条件iii、iv：
A1sinh(a/L)?C1cosh(a/L)?0?C1cosh(a/L)??A1sinh(a/L)
精选
（3）
A2sinh(?b/L)?C2cosh(?b/L)?0?C2cosh(b/L)?A2sinh(b/L)
联系（1）可得：A1??A2tanh(b/L)/tanh(a/L) 结合（2）可得：A2?（4）
SLtanh(b/L)SL/D??A2?A2? Dtanh(a/L)1?tanh(b/L)/tanh(a/L)?A1??SL/D
1?tanh(a/L)/tanh(b/L)SLtanh(a/L)tanh(b/L)/D
tanh(a/L)?tanh(b/L)?C1?C2??A1tanh(a/L)?所以：
?SL?tanh(b/L)sinh(x/L)?tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)],x?0?D[tanh(b/L)?tanh(a/L)? ?(x)??SLtanh(a/L)sinh(x/L)?tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)?[],x?0?Dtanh(b/L)?tanh(a/L)?3-23
证明：以平板中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：
?D?2???a??S
即：?2???aS???，x > 0 DDx?0边界条件：i. 0?|?|???, ii. limJ(x)?0, iii. ?(a?d)?0
参考21题，可得通解形式：?(x)?Asinh(x/L)?Ccosh(x/L)?S/?a
J(x)??Dd?ADxCDx??cosh()?sinh() dxLLLLAD?0?A?0 L
由条件ii可得：
limJ(x)??x?0a?dSS )??0?C??a?dL?a?acosh()LSxSScosh(x/L)所以：?(x)??cosh()??[1?]
a?da?dL?a?a?acosh()cosh()LL再由条件iii可得：?(a?d)?Ccosh(由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证毕。
3-24 设半径为R的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生S个中子，试求球体内的中子通量密度分布。 解：以球心为原点建立球坐标系，建立扩散方程：
?D?2???a??S
即：?2???aS??? DDiii. lim4?rJ(r)?0
r?02边界条件：i. 0?????, ii.. ?(R?d)?0,
通解：?(r)?Aexp(?r/L)exp(r/L)S?C? rr?a精选
由条件iii：lim4?rJ(r)?lim4?D[A(r?0r?02rr?1)e?r/L?C(?1)er/L]?0?A?C LL再由条件ii：
?(R?d)?AR?dCR?dSexp(?)?exp(R)??0R?dLR?dL?a
(R?d)S?A??R?dR?d?a[exp(?)?exp()]LL所以：?(r)??(R?d)S[exp(?r/L)?exp(r/L)]1SS(R?d)cosh(r/L)??[1?]
R?dR?dR?d?a[exp(?)?exp()]r?a?arcosh()LLL（此时，limJ(r)?0）
r?0
第四章
4-1 试求边长为a，b，c（包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度分布。设有一边长a=b=c=0.5 m，
c=0.6 m（包括外推距离）的长方体裸堆，L=0.0434 m，τ=6 cm2。（1）求达到临界时所必须的k∞；（2）如果功率为5000 kW，Σf=4.01 m-1，求中子通量密度分布。
解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：
?2??2??2?D(2?2?2)??a??k??a??0 ?x?y?z边界条件：?(a/2,y,z)??(x,b/2,z)??(x,y,c/2)?0
（以下解题过程中不再强调外推距离，可以认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量变化是相互独立的，利用分离变量法：?(x,y,z)?X(x)Y(y)Z(z)
k?1?2X?2Y?2Z?????2 将方程化为：XYZL22?2X2?Y2?Z??Bx,??By,??Bz2 设：XYZ先考虑x方向，利用通解：X(x)?AcosBxx?CsinBxx 代入边界条件：Acos(Bxan??)?0?Bnx?,n?1,3,5,...?B1x? 2aa同理可得：?(x,y,z)??0cos(其中φ0是待定常数。
?a2x)cos(?y)cos(z)
aa?其几何曲率：Bg?()?()?()?106.4 ( m-2 )
2?2??2abc（1）应用修正单群理论，临界条件变为：其中：M?L???0.00248 ( m2 )
22k??12?Bg 2M精选
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