1．(2020·宁波市余姚中学期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1,1)．
1
(1)求抛物线C的方程；
(2)如图，直线MN与抛物线C交于M，N两个不同点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2且k1＋k2＝3，求证直线MN过定点，并求出定点.
x2y2
2．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点M在椭圆C上滑动，若△MF1F2
ab的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M使得△MF1F2为直角三角形． (1)求椭圆C的方程；
→→→→
(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，与x轴交于点Q.设QA＝λPA，QB＝μPB，求证：λ＋μ为定值，并求该定值．
x2y233.(2019·杭州模拟)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点是F1，离心率为，过F1且垂直于x
ab2轴的直线被椭圆截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程；
→
(2)若A是椭圆的上顶点，B是椭圆的右顶点，椭圆上有异于A，B的两动点M，N，满足MN→
＝λAB(λ>0)，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．
→
4．已知F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且MF＝(4,0)． (1)求抛物线C的方程；
2
(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．且|x2－x1|＝3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
3
答案精析
1．解 (1)将点(1,1)代入y2＝2px有1＝2p， 故抛物线方程为y2＝x.
2(2)设M(y21，y1)，N(y2，y2)，直线MN：x＝ty＋m.
??x＝ty＋m，
联立?2有y2－ty－m＝0，
?y＝x，?
且Δ＝t2＋4m>0，y1＋y2＝t，y1y2＝－m. y1－11因为k1＝2＝，
y1－1y1＋11
同理k2＝. 1＋y2由k1＋k2＝3，得 11
k1＋k2＝＋ 1＋y11＋y2＝＝
y1＋y2＋2y1＋y2＋2
＝ ?1＋y1?·?1＋y2?1＋y1＋y2＋y1y2t＋2
＝3，
－m＋t＋1
2t＋1
化简得m＝. 3
所以直线MN：x＝ty＋m＝ty＋21y＋?＋， ＝t??3?312
，－?. 故MN过定点?3??3
2．解 (1)由对称性知，点M在短轴端点时，
△MF1F2为直角三角形且∠F1MF2＝90°，S△MF1F2＝4， 1
∴b＝c且S＝·2c·b＝bc＝4，
2解得b＝c＝2，a2＝b2＋c2＝8， x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
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(2)显然直线l的斜率不为0，设直线l：x＝t(y－1)，
2t＋1
3
4
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