[基础题组练]
?x′＝2x，
1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?后，曲线C：x＋y＝36变为何种曲线，并求
1?y′＝3y2
2
1
曲线的焦点坐标．
解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，
??x＝2x′，x′2y′2
22
则?所以4x′＋9y′＝36，即＋＝1.
94
??y＝3y′，
x2y2
所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，
94其焦点坐标为(±5，0)．
11π
2，?为圆心，2为半径的圆． 2．在极坐标系中，圆C是以点C?6??(1)求圆C的极坐标方程；
7π
(2)求圆C被直线l：θ＝(ρ∈R)所截得的弦长．
12
π
解：(1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，
6πθ＋?. 所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos??6?
π5π
θ＋?，得ρ＝22， (2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos??6?127π5π
所以，圆C被直线l：θ＝，即直线θ＝－所截得的弦长为22. 1212
3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ＝4cos π
0≤θ
(1)求C1与C2的交点的极坐标；
→2→
(2)设点Q在C1上，OQ＝OP，求动点P的极坐标方程．
5
??ρcos θ＝3，3解：(1)联立?得cos θ＝±，
2
??ρ＝4cos θ，
π
因为0≤θ<，
2
π
所以θ＝，ρ＝23，
6π23，?. 所以交点坐标为?6??
π
0，?， (2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，则ρ0＝4cos θ0，θ0∈??2?2?ρ＝ρ，0?→2→5
由OQ＝OP，得?
5
??θ0＝θ，π2
0，?， 所以ρ＝4cos θ，θ∈??2?5
π
0，?. 所以点P的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈??2?
?x＝6cos φ，
4．(2020·黑龙江哈尔滨三中一模)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：?(φ为参数)．以原
?y＝2sin φ
点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．
??x＝6cos φ，
解：(1)因为C2的参数方程为?(φ为参数)，
??y＝2sin φ
x2y2
所以其普通方程为＋＝1，又C1：x＋3y＝3，
62
π36θ＋?＝，C2：ρ2＝所以可得极坐标方程分别为C1：ρsin?. ?6?21＋2sin2θ(2)易知M(3，0)，N(0，1)，所以P?
31?
，
?2，2?
π
所以OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
6ππ3θ＋?＝， 把θ＝代入ρsin??6?26π1，?， 得ρ1＝1，P??6?π6
把θ＝代入ρ2＝，
61＋2sin2θπ
2，?， 得ρ2＝2，Q??6?所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，
即P，Q两点间的距离为1.
5．直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
??x＝－2＋tcos α，解：(1)直线l的参数方程为?(t为参数)，
?y＝－4＋tsin α?
ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线C的直角坐标方程得y2＝2x. (2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得 t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0， 设A，B对应的参数分别为t1，t2，
20
由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2＝2，
sinα
根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝π又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝. 4
??x＝2＋2cos α，
6．(2020·江淮十校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(α为参数)，
?y＝2sin α?
20π3π＝40，得α＝或α＝. 2
sinα44
以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
π
(2)已知A，B是曲线C上任意两点，且∠AOB＝，求△OAB面积的最大值．
3解：(1)消去参数α，得到曲线C的普通方程为 (x－2)2＋y2＝4，
故曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
πππ
(2)在极坐标系中，不妨设A(ρ1，θ0)，B(ρ2，θ0＋)，其中ρ1>0，ρ2>0，－<θ0<，由(1)知，ρ1＝4cos
322π
θ0，ρ2＝4cos(θ0＋)．
3
1ππ
△OAB面积S＝ρ1ρ2sin ＝43cos θ0cos(θ0＋)，
233
π
2θ0＋?＋3， S＝23cos2θ0－6sin θ0cos θ0＝3(1＋cos 2θ0)－3sin 2θ0＝23cos?3??πππ
2θ0＋?有最大值1.此时Smax＝33. 当2θ0＋＝0时，即θ0＝－时，cos?3??36故△OAB面积的最大值为33. [综合题组练]
?x＝1＋cos φ?
1．(2020·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为?(φ
?y＝1＋sin φ?
为参数)，
过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求l和M的极坐标方程；
π
0，?时，求|OA|＋|OB|的取值范围． (2)当α∈??4?
解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 曲线M的普通方程为x－1＋(y－1)2＝1， 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，
所以M的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0. (2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0， 得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0， π
0，?时，Δ＝4sin 2α>0， 当α∈??4?所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，
根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径． π
α＋?. 从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝22sin??4?ππππ
0，?时，α＋∈?，?， 当α∈??4?4?42?故|OA|＋|OB|的取值范围是(2，22]．
()
2
2．在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程；
π
θ＋?＝2距离的最大值． (2)求曲线C2上的点到直线ρcos??4?解：(1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)， 4
由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝.
ρ1因为M是C1上任意一点，所以ρ2sin θ＝2， 4
即sin θ＝2，ρ1＝2sin θ. ρ1
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 即x2＋y2－2y＝0，
化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，
则曲线C2的圆心坐标为(0，1)，半径为1， π
θ＋?＝2， 由直线ρcos??4?ππ
得ρcos θcos －ρsin θsin ＝2，
44即x－y＝2，
圆心(0，1)到直线x－y＝2的距离为 |0－1－2|32
d＝＝，
22
π32
θ＋?＝2距离的最大值为1＋所以曲线C2上的点到直线ρcos?. ?4?2
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