欢迎下载使用！ §3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(一) 3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3．2 空间向量基本定理
学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
知识点一 空间向量的坐标表示 空间向量的正交分解及其坐标表示
标准正交基 空间直角坐标系 有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作i，j，k 以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝空间向量的坐标表示 xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j，k下的坐标，记作p＝(x，y，z) 知识点二 空间向量基本定理
思考 平面向量基本定理的内容是什么？
答案 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
梳理 (1)空间向量基本定理
条件 结论 (2)基底
条件：三个向量a，b，c不共面．
三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p 存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc 高中资料 欢迎下载使用！ 结论：{a，b，c}叫作空间的一个基底． 基向量：基底中的向量a，b，c都叫作基向量．
1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)
2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(√)
3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(√) 4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)
类型一 基底的判断
→→→
例1 下列能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基底的关系式是( ) →1→1→1→A.OM＝OA＋OB＋OC
333→→→
B.MA＝MB＋MC →→→→C.OM＝OA＋OB＋OC →→
D.MA＝2MB－MC
(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有( ) A．1个B．2个C．3个D．0个 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的判断 答案 (1)C (2)B
→→→→→
解析 (1)对于选项A，由OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面知，MA，→→→→→
MB，MC共面；对于选项B，D，可知MA，MB，MC共面，故选C. (2)②③均可以作为空间的基底，故选B. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
高中资料 欢迎下载使用！ (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
跟踪训练1 (1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( ) A．2a C．2a＋3b 答案 D
(2)以下四个命题中正确的是( ) A．基底{a，b，c}中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 →→
C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．空间向量的基底只能有一组 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B
解析 使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三→→→→→→角形并不一定是AB·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是CA·CB＝0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确．
类型二 空间向量基本定理的应用
→→例2 如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA＝a，OB→→→＝b，OC＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量OG和GH.
B．2b D．2a＋5c
考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理
高中资料 欢迎下载使用！ →→→
解 因为OG＝OA＋AG， →2→→→→而AG＝AD，AD＝OD－OA，
3
→1→→
又D为BC的中点，所以OD＝(OB＋OC)，
2→→2→→2→→所以OG＝OA＋AD＝OA＋(OD－OA)
332→→21→→
＝OA＋×(OB＋OC)－OA
3231→→→1
＝(OA＋OB＋OC)＝(a＋b＋c)． 33→→→又因为GH＝OH－OG， →2→21→→OH＝OD＝×(OB＋OC)
3321
＝(b＋c)， 3
11→1
所以GH＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
3331→1→
所以OG＝(a＋b＋c)，GH＝－a.
33
反思与感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． →→→
跟踪训练2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
—→→
(1)用向量a，b，c表示D1B，EF；
—→
(2)若D1F＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理
解 (1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
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—→—→→D1B＝D1D＋DB
—→→→
＝－AA1＋AB－AD＝a－b－c， →→→1—→1→EF＝EA＋AF＝D1A＋AC
22
1—1→→1→→
＝－(AA1＋AD)＋(AB＋AD)＝(a－c)．
222—→1—→—→(2)D1F＝(D1D＋D1B)
21—→—→＝(－AA1＋D1B) 21
＝(－c＋a－b－c) 211
＝a－b－c， 22
11
∴x＝，y＝－，z＝－1.
22类型三 空间向量的坐标表示
例3 (1)设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标
答案 (4，－8,3)，(－2，－3,7)
解析 由于{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)． (2)已知a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解．
考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标
解 因为a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)， e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)， 设a＝αe1＋βe2＋λe3，
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