难题突破专题二 “K”字型相似研究
相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形， 有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．
类型1 “K”字型相似基本图形1
图Z2－1
1 条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°. 结论：△ABC∽△CED. 证明：
例题分层分析
(1)证明两个三角形相似有哪些方法？
(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？
【应用】
如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P的坐标为________．
图Z2－2
例题分层分析
(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？ (2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标． 解题方法点析
“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．
类型2 “K”字型相似基本图形2
2 条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.
图Z2－3
结论：△BDE∽△CFD. 证明：
例题分层分析
(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？ (2)如何证明∠E＝∠CDF?
【应用】
1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.
图Z2－4
(1)直接写出点B的坐标：________；
(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标． 例题分层分析
(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答． (2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？
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2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－x＋交于点A(3，6)．
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图Z2－5
(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．
(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？
例题分层分析
(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．
(2)①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；
②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设
OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判
别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．
解题方法点析
“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．
专 题 训 练
1．[2017·常州] 如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )
A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)
图Z2－6
2．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB＝8，则EF＝________．
图Z2－7
3．[2017·攀枝花] 如图Z2－8，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，BD＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D
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