线性代数模拟试题(I)
一 填空题
◆1． 设A为3阶方阵且A?2，则3A?1?2A?? ；
【分析】只要与A*有关的题，首先要想到行列式的展开定理，AA?AA?AE，从中推
你要的结论。这里A?AA*?1**?2A?1代入
?1 A3A?1?2A???A?1?(?1)3A?1?注意： 为什么是(?1)
3◆2． 设?1??1??2,?2??2??3,?3??3??1， 如?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,?3线性______(相关) 如?1,?2,?3线性无关，则?1,?2,?3线性______(无关)
【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘
法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。参阅教材P89例6
?101??[?1,?2,?3]?[?1,?2,?3]?010??，记此为B?AK
??111??如?1,?2,?3线性无关，则A?[?1,?2,?3]是列满秩矩阵，它左乘一个矩阵不改变 这个矩阵的秩（可以用这个结论），这里r(B)?r(AK)?r(K)，这样B的秩就等于 ，B的列向量?1,?2,?3就是无关的，否则 K的秩，如果?3（所含向量个数）
K是相关的。
切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！
你来做 下面的三个题：
（1）已知向量组?1,?2,?,?m（m?2）线性无关。设
?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m,?m??m??1
试讨论向量组?1,?2,?,?m的线性相关性。（答案：m为奇数时无关，偶数时相关） （2）已知?1,?2,?3线性无关，试问常数m,k满足什么条件时，向量组
k?2??1,m?3??2,?1??3
１
线性无关？线性相关？（答案：当mk?1时，无关；当mk?1时，相关） （3）教材P110第19题和第20题
◆3． 设非齐次线性方程Am?4x?b，r(A)?2，?1,?2,?3是它的三个解，且
?1??2?(3,4,6,7)T,?2??3?(1,2,3,4)T,?3??1?(2,3,4,5)T
求该方程组的通解。(答案：x?唯一)
【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）
是多少，通解是如何构造的。其次要知道下面的结论： 设?1,?2,?,?m是非齐次方程组Ax?b的解，则
（1）k1?1?k2?2???km?m是Ax?0的解?k1?k2???km?0 （2）k1?1?k2?2???km?m是Ax?b的解?k1?k2???km?1
你再做 教材P111第29题
◆4． 当k? 时，??(1,k,5)能由?1?(1,?3,2),?2?(2,?1,1)线性表示
（答案k??8）
【分析】一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题，再
利用矩阵的秩去判别。对于此题，记A?[?1,?2]，看看Ax??是否有解，有解就是能表示，无解就是不能表示，有唯一解就是表示是唯一的。表示系数（组合系数）就是解。这里只要求k使r(A)?r[A,?]?2的秩即可，这里[A,?]是方阵，用行列式的方法是方便的A,??3k?24?0
T你来做：设??(2,?1,t?2)，?1?(t?1,1,1)，?2?(1,t?1,1)，?3?(1,1,t?1)，
1(2,3,5,6)T?k1(1,1,1,1)T?k2(1,1,2,2)T，形式不 2TTT问t为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示；?能由?1,?2,?3线性表示且表法唯 一；?能由?1,?2,?3线性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。
注意： 关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如
果不是方阵只有用初等行变换的方法了。
◆5． 设?1?13(1,1,1)T，求?2,?3使Q???1,?2,?3?为正交矩阵
【分析】求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题
２
?1Tx?0
当然要根据题之要求，还要使用Schimidt正交化，单位化过程（答案：详见教材P117 例3，还要再单位化）
你写一写
正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交 你也应该会！
二 选择题
◆1． 设A,B为满足AB?0的两个非零矩阵，则必有
(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关 (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关 (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关
【分析】遇到Am?nBn?p?0，就要想到r(A)?r(B)?n以及B的列向量均是线性方程组
Ax?0的解。
思路1：r(A)?r(B)?n，又A,B为非零矩阵，必有0?r(A)?n, 0?r(B)?n， 所以A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故选(A)。
思路2：B的列均为Ax?0的解，又B为非零矩阵，说明Ax?0存在非零解，所 以r(A)?n，所以A的列向量组线性相关。考虑BTAT?0，又知BT的列向量组即B的行向量组线性相关，故选(A)。
另外： 遇到C?AB要想到C的列组都是A的列组的线性组合，C的行组都是B的行组
的线性组合。从这个角度也可做此题，你来想想。
◆2．设r(Am?n)?m?n，则（ ）（多选）。
??[Em,O] （Ａ）A???[Em,O] （Ｂ）A?（Ｃ）对?b?R，Ax?b必有无穷多解 （Ｄ）若BA?O?B?O （Ｅ）AA?0(答案:B,C,D,E)
【分析】
（I） (A)和(B)是化标准形的问题。这里A是行满秩矩阵，必有m阶子式非零，这个
３
Trcnm阶子式所在的行就是A的所有的行，只用列变换可把它所在的m列调到前面来
CA???[Bm?m,C]
此时B是非奇异矩阵，可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换 把后面的矩阵C消为零。故（B）是对的。（A）不对。
（II） 对于（C）要知道，如果A是行满秩矩阵，则Ax?b一定是有解的，这是因
为m?r(Am?n)?r(Am?n,b)?m?r(A)?r(A,b)
至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩（即独立方程组的个数）与 未知数的个数（即A的列数比较），由题设r(Am?n)?m?n，故有无穷多解（C） 也是对的。
（III） 对于(D)这是书上定理AX?O只有零矩阵解的充要条件是A是列满矩阵的
变形BA?O?AB?O这里A是列满秩,故(D)也是对的。
（IV） 对于（E）要了解形如ATA的是一个非常重要的矩阵，你必须知道这两个结
T论一是AA是一个对称半正定的矩阵（这用x(AA)x?0是很容易证明的），二 T是r(A)?r(AA)（这是书上的例题）。用第二个结论立即知AA可逆（实际上是
TTTTTT对称正定）的充要条件是A是列满秩。这样就（E）是对的。
另外： 对于Am?nBn?m型的矩阵，如果m?n，一定有Am?nBn?m?0（这是因为
r(Am?nBn?m)?r(A)?n?m），记忆方法：高的矩阵乘矮的矩阵一定不可逆的（如
果是方阵的话）
◆3． 设A为n阶可逆矩阵(n?2)，交换A的第1行与第2行得矩阵B，则（ ）
（Ａ）交换A的第１列与第２列得B （Ｂ）交换A的第１行与第２行得B （Ｃ）交换A的第１列与第２列得?B（Ｄ）交换A的第１行与第２行得?B
【分析】对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。交换A和第1
行和第2行得B，则有E(i,j)A?B（左行右列原则），从而?A?B，由此关系 找A与B的关系：
**********B*?BB?1??AA?1E(i,j)?1??AA?1E(i,j)??A*E(i,j)
由此知(C)是对的。
◆4． 设A为方阵，?1,?2是齐次线性方程组Ax?0的两个不同的解向量，则（ ）是
A的特征向量
４
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