第1讲 空间几何体
[2019考向导航] 考点扫描 2019 1．空间几何体的体积与表面积 2．多面体与球 三年考情 2018 2017 江苏高考对空间几何体的考查，一般是填空题，属中档题．试题主要来源于课本，或略高于课本． 命题的重点是体积计算．预计2020年命题仍会坚持这一方向． 3．折叠与展开 多面体与球，折叠与展开问题是江苏高考的冷点，但复习时仍要关注．
1．必记的概念与定理
(1)棱柱的性质；(2)正棱锥的性质；(3)正棱台的性质；
(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．
考向预测 第9题 第10题 第6题
(5)圆柱、圆锥、圆台的性质；(6)球的截面性质． 2．记住几个常用的公式与结论 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)； 1
②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
2
1
③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；
2
④S球表＝4πR2(R为球的半径)． (2)柱体、锥体、台体和球的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； 1
②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
3
1
③V台＝(S＋SS′＋S′)h(S′，S分别为上下底面面积，h为高)；
34
④V球＝πR3(R为球的半径)．
3(3)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①正方体的外接球，则2R＝3a； ②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a．
(4)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2． (5)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1． 3．需要关注的易错易混点 (1)侧面积与全面积的区别．
(2)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决． (3)折叠与展开的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性． (4)求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．
空间几何体的体积与表面积
[典型例题]
(1)(2019·高考江苏卷)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中
点，则三棱锥E-BCD的体积是________．
(2)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
【解析】 (1)因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，所以CC1·S四边形ABCD＝120，又
11111
E是CC1的中点，所以三棱锥E-BCD的体积VE-BCD＝EC·S△BCD＝×CC1×S四边形ABCD＝
332212×120＝10．
(2)设新的底面半径为r，由题意得
11
×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8， 33所以r2＝7，所以r＝7． 【答案】 (1)10 (2)7
涉及柱、锥、台、球及其简单几何体(组合体)的侧面积(全面积)和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算．另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用．
[对点训练]
1．(2018·高考江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
[解析] 正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体14的所有棱长都是2，则该正八面体的体积为×(2)2×2＝．
33
4
[答案] 3
2．(2019·苏锡常镇四市高三调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底V13S1
面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．
V2πS2
[解析]
由题意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝
13V13a332
πr，S2＝2πr，由＝得，＝，得a＝3V2π13π
πr3
S1632
r，从而＝＝．
S2π2π
[答案]
32
π
3．(2019·江苏省高考名校联考(八))在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底
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