1.2.1 充分条件与必要条件
[学习目标] 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
知识点 充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p?q，与q能否推出p没有任何关系.
(2)注意以下等价的表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.
(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p?q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 思考 (1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？ (2)性质定理给出了结论成立的什么条件？ 答案 (1)充分条件 (2)必要条件
题型一 充分条件、必要条件 例1 给出下列四组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件.
解 (1)∵两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似， ∴p是q的必要不充分条件. (2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q?p. ∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p?q，且q?p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件. (4)∵p?q，且q?p，
∴p是q的既不充分也不必要条件.
反思与感悟 本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 跟踪训练1 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (4)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠A>∠B?BC>AC， 所以p是q的充分条件.
(2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6?x＋y＝8， 所以由x＋y≠8?x≠2或x≠6， 故p是q的充分条件.
(3)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°， 则sin A>sin B，但tan A 故命题(1)(2)(4)中p是q的充分条件. 题型二 充分条件、必要条件与集合的关系 例2 是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范 围；否则，说明理由. 解 由x2－x－2>0解得x>2或x<－1， 令A＝{x|x>2或x<－1}， p 由4x＋p<0，得B＝{x|x<－}， 4p 当B?A时，即－≤－1，即p≥4， 4p 此时x<－≤－1?x2－x－2>0， 4 ∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件. 反思与感悟 (1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；若p是q的充分不必要条件，则AB. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值. 跟踪训练2 已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围. 解 由(x－a)2<1得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0， ∴a－1 又由x2－5x－24<0得－3 ??a－1≥－3，∴?解得－2≤a≤7. ?a＋1≤8，? 故a的取值范围是－2≤a≤7. 根据必要条件(充分条件)求参数的范围 例3 已知P＝{x|a－4 错解 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P. ???a－4<1，?a<5，?所以即? ?a＋4>3，???a>－1， 所以－1 错解分析 错误的根本原因是忽视了集合中的不等式的等号，实际上本题中的不等式中的等 ??a－4≤1， 号能取到，即? ?a＋4≥3.? 正解 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P， ???a－4≤1，?a≤5， ?所以即? ?a＋4≥3，???a≥－1， 所以－1≤a≤5. 答案 [－1,5] 1.“－2 解析 ∵－2 C.既是充分条件，也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由a>|b|?a>b，而a>b推不出a>|b|. 3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断 答案 A 解析 当a＝1时，|a|＝1成立， 但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立. ∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件. 4.“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
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