人教版九年级数学上册知识点总结 第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数.
22.二次函数y?ax的性质
（1）抛物线y?ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y?ax的图像与a的符号关系.
①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax（a?0）.
22223.二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.
24.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：
2y?a?x?h?2b4ac?b2?k的形式，其中h??，k?.
2a4a5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y?ax22；②y?ax?k；③y?a?x?h?2；④y?a?x?h??k；⑤
2y?ax2?bx?c.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；
a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大。
②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
b?4ac?b2?2 （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?， ??2a4a??b4ac?b2b（?，）∴顶点是，对称轴是直线x??.
2a4a2a （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到
22顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.
（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的
垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用
2 （1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.
2 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线
2bb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴2aab在y轴左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧，“左同右异”.
ax?? （3）c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.
2 当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）：
2 ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 当a?0时 开口向上 当a?0时 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) y?ax2 y?ax2?k y?a?x?h? 2x?0（y轴） x?0（y轴） x?h y?a?x?h??k 2开口向下 x?h x??b 2a(h,k) y?ax2?bx?c b4ac?b2，(?) 2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
2 （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点
2 （1）y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0, c).
（2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点
2(h,ah2?bh?c).
（3）抛物线与x轴的交点
二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元
2二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一
2元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐
标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.
2 （5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G2的交点，由方程组
y?kx?ny?ax2?bx?c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解
时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为
2A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2? 中考回顾
?x1?x2?2??x1?x2?24cb2?4ac??b??4x1x2???????aaa?a?21.(2017天津中考)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为
M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,
则平移后的抛物线解析式为( A ) A.y=x2+2x+1
B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1
2.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是( B )
A. abc<0, b2-4ac>0 B. abc>0, b2-4ac>0 C. abc<0, b2-4ac<0 D. abc>0, b2-4ac<0
3.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是 m<2 .
4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
备用图
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2的坐标;若不存在请说明理由.
解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4.
,若存在求出点Q∵点B(3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a(3-1)2+4,解得:a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3. ∵点D在y轴上,所以可令x=0,解得:y=3. ∴点D的坐标为(0,3).
设直线BD的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1.
∴直线BD的解析式为y=-x+3.
（2）设点P的横坐标为m(m>0), 则P(m,-m+3), M(m,-m2+2m+3),
PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-, PM最大值为
(3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2
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