1.4.2 §2 正弦函数、余弦函数的性质

高一数学必修4 第一章三角函数导学案编制：审核：小组：

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时函数的奇偶性、单调性与最值

教学目标

(1)结合函数图象理解正弦函数及余弦函数的奇偶性、单调性、最值；

(2)掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 教学重难点

重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性．

难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用． 复习

1.正、余弦函数的最小正周期是多少？

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期是多少？

探究一、正、余弦函数的奇偶性

问题：观察正弦曲线和余弦曲线，函数图象有怎样的对称性？分别反映出正、余弦函数具有什么性质？

1.正、余弦函数的奇偶性

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 探究二、正、余弦函数的单调性与最值

问题：观察正弦函数图象的变化趋势，能否求出正弦函数的单调区间以及正弦函数的最大值和最小值？

思考：类似地，能否求出余弦函数的单调区间以及余弦函数的最大值和最小值？

2.正、余弦函数的单调性

ππ

－＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区正弦函数在每一个闭区间?2?2?

π3π

＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 间?2?2?

余弦函数在每一个闭区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

π

思考1：正弦函数在每一个开区间（2kπ，＋2kπ）（k∈Z）上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是

2

增函数？

思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y＝sinx、余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？

1

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探究三、正、余弦函数的对称性

问题：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？

问题：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？

3.正、余弦函数的对称性

正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x既是中心对称图形，又是轴对称图形．

π

y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)．

2

π

y＝cos x的对称中心为(kπ＋，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．

2

正弦、余弦函数的性质

函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 y＝sinx y＝cosx 最值 对称轴 对称中心 例题讲练

类型一、三角函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性

215π

（1）f(x)＝sin(x＋)；（2）f(x)＝sin(cosx)；（3）f(x)＝ln(sinx＋1＋sin2x).

32

例2.若函数y＝2sin(ωx＋φ)是偶函数，则φ可能等于（）

πππA. B.C. D.π 632

类型二、函数周期性与奇偶性的综合运用

π

0，?时，f(x)＝ 例3.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈??2?5π?sinx，求f??3?的值．

π?π?－5π?的值． 变式1.若f(x)是以为周期的奇函数，且f?＝1，求f?3??6?2

2

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例4.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，

x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的解析式f(x)＝________．

类型三、三角函数的单调性

1.求y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间

π

例5.求函数y＝2sin(x－)的单调区间．

3

π

例6.已知函数y＝cos(－2x)，则它的单调减区间为________．

3

2.根据三角函数的单调性求解参数

ππ

ωx＋?在?，π?单调递减，则ω的取值范围是（） 例7.已知ω＞0，函数f(x)＝sin?4??2??

15?131

， B.?，?C.?0，?D.(0,2] A.??24??24??2?

ππ

－，?上的最小值是－2，则ω的最小值等于（） 例8.已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间??34?23

A.B.C.2 D.3 32

π5ππ

ωx＋?(ω>0)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)，单调递减区间为变式2.已知函数f(x)＝sin?3?1212???

?kπ＋π，kπ＋7π?(k∈Z)，则ω的值为________．

1212??

3

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类型四、正、余弦函数的值域与最值 例9.求下列函数的最大值和最小值：

πππ

(1)y＝2sin(2x＋)(－≤x≤) 366(2)y＝cos2x－4cos x＋5 (3)y?

变式3.求下列函数的值域：

ππ

(1)y＝cos(x＋)，x∈[0，] 62(2)y＝2cos2x＋5sinx－4

类型五、三角函数的对称性

4π?

例10.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点??3，0?中心对称，那么|φ|的最小值为________．

课堂小结

1.正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握.

2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.一般地，y=Asinωx是奇函数，y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数. 3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理.

4

2sinx?1

2sinx?1